a.
b.
e
c.
e
;
d.
e
.
b.
c.
d.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto
definido por duas equações:
Aqui estamos trabalhando com geometria no espaço tridimensional (
). Para resolver isso, precisamos relacionar as duas equações e descobrir como
,
e
se comportam juntos.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a segunda equação
na primeira. Assim, ficamos com:
Isso simplifica nossa relação entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação para completar o quadrado:
Isso mostra que a equação representa um círculo no plano
com centro em
e raio 1.
Passo 4
Como
, e
ou
(a partir do círculo), podemos expressar
em termos de
.
Passo 5
Portanto, o conjunto
é uma curva no espaço tridimensional que segue o perfil de um círculo movendo-se ao longo do eixo
de acordo com
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b. Temos o conjunto
definido por:
Novamente, estamos no espaço tridimensional. Precisamos entender como essas duas equações interagem para definir
.
Passo 7
Primeiro, a equação
representa um círculo de raio 3 no plano
.
Passo 8
A segunda equação
relaciona
,
e
. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
Isso mostra que
está relacionado ao quadrado de
.
Passo 9
Como
,
será sempre não negativo. Assim, podemos expressar
em termos de
e
:
Desde que
para
ser real.
Passo 10
Portanto,
é o conjunto de pontos no círculo
para os quais
, com
determinado por
.
Passo 11
Seguimos para a parte c. Aqui, o conjunto
é definido por:
Vamos analisar essas duas equações no espaço tridimensional.
Passo 12
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar
:
Isso simplifica para:
Passo 13
Completando o quadrado para
e
:
Isso representa um círculo com centro em
e raio
.
Passo 14
Agora, usando a primeira equação
, podemos expressar
em termos de
e
:
Como já temos
, podemos substituir:
Mas da segunda equação, sabemos que
, então confirma que a expressão para
está correta.
Passo 15
Assim,
é o conjunto de pontos que formam um círculo no plano definido por
, com
.
Passo 16
Finalmente, vamos para a parte d. O conjunto
é definido por:
Vamos entender como essas condições se combinam no espaço tridimensional.
Passo 17
Primeiro, a inequação
nos limita ao hemisfério onde
é positivo.
Passo 18
A equação
relaciona
diretamente com
e
. Podemos usar isso para substituir
na outra equação:
Passo 19
Expandindo
:
Então, a relação entre
e
é
.
Passo 20
Como
e
, isso implica que
deve ser negativo (porque
é positivo e o produto é negativo).
Além disso, com
, podemos expressar
em termos de
:
Isso dá uma parametrização de
em função de
.
Resposta
O conjunto
é a curva definida por
com
e
. Em termos de parametrização, para cada
, temos
e
.
Exercícios relacionados
a.
;
b. .
Com isso obtenha uma expressão para a derivada do produto misto e da norma:
b.
Com isso obtenha uma expressão para a derivada do produto misto e da norma:
a. Verifique que
para todo
, e que
, para todo
.
b. Verifique que e que
.
b. Verifique que
Seja
uma função periódica de período
. Mostre que a função
é perí0dica ( de período
) se e somente se
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
e)
e)