Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
e) lim x a raiz[3]x-raiz[3]ax-a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites e funções envolvendo raízes cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e usar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, percebemos que se substituirmos diretamente na expressão, teremos uma indeterminação do tipo . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para simplificar frações envolvendo diferenças de raízes é multiplicar e dividir pela expressão conjugada apropriada. No caso da raiz cúbica, usamos a identidade:
raiz[3]x - raiz[3]a = x - araiz[3]x^2 + raiz[3]xraiz[3]a + raiz[3]a^2
Isso nos ajuda a cancelar o no numerador e denominador.

Passo 4

Aplicando essa identidade na nossa expressão original:
raiz[3]x-raiz[3]ax-a = 1raiz[3]x^2 + raiz[3]xraiz[3]a + raiz[3]a^2
Agora, podemos calcular o limite substituindo por na expressão simplificada.

Passo 5

Substituindo 1raiz[3]a^2 + raiz[3]araiz[3]a + raiz[3]a^2 = 13raiz[3]a^2 :
Porque , e temos três termos iguais no denominador.

Resposta

Então, o limite é:
lim x a raiz[3]x-raiz[3]ax-a = 13raiz[3]a^2

Exercícios relacionados

Seja f: R longrightarrow R uma função periódica de período T. Mostre que a função
F(x)=integral0^x f
é perí0dica ( de período T ) se e somente se
integral0^T f=0
a. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 = z e z = 2y}
b. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 = 9} e 4x + 4y = z^2, z ≥ 0
c. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 + z = 1} e 2x + 2y + z = 1;
d. C = {(x, y, z) in R^3: x > 0, x^2 + y^2 - z^2 = 4} e z = x + y.
Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x) = { 1, -T/2 <= x <= 0 ; 0, 0 <= x <= T/2 ; f(x+T) = f(x) }
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
g) lim x +infty 2 x^5-3 x^3+2-x^2+7