Seja f: R longrightarrow R uma função periódica de período T. Mostre que a função
F(x)=integral0^x f
é perí0dica ( de período T ) se e somente se
integral0^T f=0

Passo 1

Então, temos uma função que é periódica com período . A gente quer mostrar que a função também é periódica com o mesmo período se e somente se a integral de de a for igual a zero, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender funções periódicas, propriedades das integrais e como a periodicidade de afeta .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função f(x + T) = f(x) é periódica com período se, para todo , vale que:
Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função F(x + T) = F(x) . Queremos verificar se é periódica com período , ou seja, se:
para todo .

Passo 4

Vamos calcular F(x + T) = integral0^x + T f(t) , dt :
F(x + T) = integral0^T f(t) , dt + integralT^x + T f(t) , dt
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 5

Usando a propriedade da periodicidade de integralT^x + T f(t) , dt = integral0^x f(u + T) , du = integral0^x f(u) , du = F(x) , sabemos que F(x + T) = integral0^T f(t) , dt + F(x) . Então, na segunda integral, fazemos uma substituição: deixe , então quando , e quando , . Assim:
Portanto, temos:

Passo 6

Para que integral0^T f(t) , dt = 0 seja verdade para todo F(x + T) = 0 + F(x) = F(x) , a única possibilidade é que:
Isso garante que:
Então, será periódica com período se .

Passo 7

Agora, vamos verificar o sentido contrário: se F(x + T) = integral0^x + T f(t) , dt = integral0^T f(t) , dt + integralT^x + T f(t) , dt = integral0^T f(t) , dt + F(x) é periódica com período integral0^T f(t) , dt + F(x) = F(x) , então devemos ter integral0^T f(t) , dt = 0 .
Assumindo que , então:
Como , temos:
Subtraindo dos dois lados:
Portanto, se é periódica com período , então .

Resposta

Assim, mostramos que a função é periódica com período se e somente se .

Exercícios relacionados

a. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 = z e z = 2y}
b. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 = 9} e 4x + 4y = z^2, z ≥ 0
c. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 + z = 1} e 2x + 2y + z = 1;
d. C = {(x, y, z) in R^3: x > 0, x^2 + y^2 - z^2 = 4} e z = x + y.
a. lang<=gamma1(t), gamma2(t)rang<=^prime=lang<=gamma1^prime(t), gamma2(t)rang<=+lang<=gamma1(t), gamma2^prime(t)rang<=;
b. (gamma1(t) times gamma2(t))^prime=gamma1^prime(t) times gamma2(t)+gamma1(t) times gamma2^prime(t).
Com isso obtenha uma expressão para a derivada do produto misto e da norma:
[gamma1(t), gamma2(t), gamma3(t)]=lang<=gamma1(t), gamma2(t) times gamma3(t)rang<= e |gamma1(t)|=raizlang<=gamma1(t), gamma1(t)rang<=
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
e) lim x a raiz[3]x-raiz[3]ax-a
Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x) = { 1, -T/2 <= x <= 0 ; 0, 0 <= x <= T/2 ; f(x+T) = f(x) }