Seja
uma função periódica de período
. Mostre que a função
é perí0dica ( de período
) se e somente se
Passo 1
Então, temos uma função
que é periódica com período
. A gente quer mostrar que a função
também é periódica com o mesmo período
se e somente se a integral de
de
a
for igual a zero, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender funções periódicas, propriedades das integrais e como a periodicidade de
afeta
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função
é periódica com período
se, para todo
, vale que:
Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Queremos verificar se
é periódica com período
, ou seja, se:
para todo
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 5
Usando a propriedade da periodicidade de
, sabemos que
. Então, na segunda integral, fazemos uma substituição: deixe
, então quando
,
e quando
,
. Assim:
Portanto, temos:
Passo 6
Para que
seja verdade para todo
, a única possibilidade é que:
Isso garante que:
Então,
será periódica com período
se
.
Passo 7
Agora, vamos verificar o sentido contrário: se
é periódica com período
, então devemos ter
.
Assumindo que
, então:
Como
, temos:
Subtraindo
dos dois lados:
Portanto, se
é periódica com período
, então
.
Resposta
Assim, mostramos que a função
é periódica com período
se e somente se
.
Exercícios relacionados
a.
b. e
c. e
;
d. e
.
b.
c.
d.
a.
;
b. .
Com isso obtenha uma expressão para a derivada do produto misto e da norma:
b.
Com isso obtenha uma expressão para a derivada do produto misto e da norma:
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
e)
e)
Encontre a série de Fourier da função dada.