a.
;
b.
.
Com isso obtenha uma expressão para a derivada do produto misto e da norma:
b.
Com isso obtenha uma expressão para a derivada do produto misto e da norma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada do produto misto e da norma de vetores, usando as regras de derivação para o produto escalar e o produto vetorial. Vamos precisar entender como derivar expressões que envolvem esses produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores
,
e
é dado por:
Isso significa que fazemos o produto vetorial de
e
, e depois o produto escalar com
.
Passo 3
Para encontrar a derivada do produto misto, vamos aplicar a regra da derivação para o produto escalar e para o produto vetorial que foram dadas no enunciado.
Começamos derivando:
Passo 4
Aplicando a regra do produto escalar:
Passo 5
Agora, precisamos derivar o produto vetorial
. Usando a regra de derivação do produto vetorial:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do produto misto:
Passo 7
Podemos distribuir o produto escalar:
Passo 8
Então, a derivada do produto misto é:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a derivada da norma de
, que é:
Passo 10
Para derivar a norma, usamos a derivada da raiz e a regra do produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A derivada do produto misto é:
E a derivada da norma de
é:
Exercícios relacionados
a. Verifique que
para todo
, e que
, para todo
.
b. Verifique que e que
.
b. Verifique que
Ache o período da função
.
a.
b. e
c. e
;
d. e
.
b.
c.
d.
Seja
uma função periódica de período
. Mostre que a função
é perí0dica ( de período
) se e somente se