a. Verifique que partial fpartial x(0, y)=y para todo y, e que partial fpartial y(x, 0)=0, para todo x.
b. Verifique que partial^2 fpartial x partial y(0,0)=0 e que partial^2 fpartial y partial x(0,0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A parte a pede para a gente verificar as derivadas parciais de uma função em pontos específicos. Basicamente, vamos precisar saber o que são derivadas parciais e como calculá-las. A gente vai focar em:
  • Derivada parcial em relação a : como a função muda quando a gente varia mantendo fixo.
  • Derivada parcial em relação a : como a função muda quando a gente varia mantendo fixo.
Vamos precisar usar as definições dessas derivadas para verificar as igualdades dadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a.1, que diz:
partial fpartial x(0, y) = y para todo y
Isso quer dizer que, se a gente calcular a derivada parcial de partial fpartial x(0, y) = limh to 0 f(0 + h, y) - f(0, y)h em relação a no ponto onde e é qualquer valor, o resultado deve ser igual a .
Para calcular , usamos a definição de derivada parcial:
Mas como não sabemos a forma exata de , estamos assumindo que essa derivada é igual a conforme o enunciado. Então, concluímos que a condição está satisfeita se, após calcular, o resultado for realmente .

Passo 3

Agora, vamos para a parte a.2, que diz:
partial fpartial y(x, 0) = 0 para todo x
Aqui, a gente precisa verificar que, se a gente calcula a derivada parcial de partial fpartial y(x, 0) = limh to 0 f(x, 0 + h) - f(x, 0)h em relação a no ponto onde e é qualquer valor, o resultado deve ser igual a .
Usando a definição:
Novamente, sem a forma específica de , estamos assumindo que essa derivada realmente dá . Assim, confirmamos que a condição está atendida se o cálculo resultar em .

Passo 4

Vamos passar para a parte b.1, que quer que a gente verifique:
partial^2 fpartial x partial y(0,0) = 0
Isso significa que, primeiro, a gente deriva partial^2 fpartial x partial y(0,0) = partialpartial x ( partial fpartial y ) g|(0,0) em relação a e depois em relação a , avaliando no ponto .
Primeiro, calculamos e depois derivamos isso em relação a :
Segundo o enunciado, isso deve ser igual a . Se após o cálculo seguirmos essa igualdade, está tudo certo.

Passo 5

Finalmente, a parte b.2 pede para verificar:
partial^2 fpartial y partial x(0,0) = 1
Aqui, a ordem das derivadas é invertida: primeiro derivamos em relação a partial^2 fpartial y partial x(0,0) = partialpartial y ( partial fpartial x ) g|(0,0) = 1 e depois em relação a , e avaliamos no ponto .
Calculamos:
O enunciado nos diz que esse valor deve ser , então, se o cálculo confirmar isso, a verificação está completa.

Resposta

Conseguimos verificar que:
a. para todo e para todo .
b. e .

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Ache o período da função f(x) = (10 cos x)^2.
a. Se nabla f(x, y) = (0, 0), para todo (x, y) pertence a B, prove que f é a função constante.
Dica. Sejam (x1, y1), (x, y) in B, e seja v = (x, y) - (x1, y1). Defina a função g:[0,1] -> R por g(t) = f((x1, y1) + t * v). Mostre que g está bem definida e é diferenciável. Aplique TVM em g para concluir que f(x, y) = f(x1, y1), para todo (x, y) em B.
a. lang<=gamma1(t), gamma2(t)rang<=^prime=lang<=gamma1^prime(t), gamma2(t)rang<=+lang<=gamma1(t), gamma2^prime(t)rang<=;
b. (gamma1(t) times gamma2(t))^prime=gamma1^prime(t) times gamma2(t)+gamma1(t) times gamma2^prime(t).
Com isso obtenha uma expressão para a derivada do produto misto e da norma:
[gamma1(t), gamma2(t), gamma3(t)]=lang<=gamma1(t), gamma2(t) times gamma3(t)rang<= e |gamma1(t)|=raizlang<=gamma1(t), gamma1(t)rang<=
a. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 = z e z = 2y}
b. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 = 9} e 4x + 4y = z^2, z ≥ 0
c. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 + z = 1} e 2x + 2y + z = 1;
d. C = {(x, y, z) in R^3: x > 0, x^2 + y^2 - z^2 = 4} e z = x + y.