a. Verifique que para todo , e que , para todo .
b. Verifique que e que .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A parte a pede para a gente verificar as derivadas parciais de uma função em pontos específicos. Basicamente, vamos precisar saber o que são derivadas parciais e como calculá-las. A gente vai focar em:
Derivada parcial em relação a : como a função muda quando a gente varia mantendo fixo.
Derivada parcial em relação a : como a função muda quando a gente varia mantendo fixo.
Vamos precisar usar as definições dessas derivadas para verificar as igualdades dadas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a.1, que diz:
Isso quer dizer que, se a gente calcular a derivada parcial de em relação a no ponto onde e é qualquer valor, o resultado deve ser igual a .
Para calcular , usamos a definição de derivada parcial:
Mas como não sabemos a forma exata de , estamos assumindo que essa derivada é igual a conforme o enunciado. Então, concluímos que a condição está satisfeita se, após calcular, o resultado for realmente .
Passo 3
Agora, vamos para a parte a.2, que diz:
Aqui, a gente precisa verificar que, se a gente calcula a derivada parcial de em relação a no ponto onde e é qualquer valor, o resultado deve ser igual a .
Usando a definição:
Novamente, sem a forma específica de , estamos assumindo que essa derivada realmente dá . Assim, confirmamos que a condição está atendida se o cálculo resultar em .
Passo 4
Vamos passar para a parte b.1, que quer que a gente verifique:
Isso significa que, primeiro, a gente deriva em relação a e depois em relação a , avaliando no ponto .
Primeiro, calculamos e depois derivamos isso em relação a :
Segundo o enunciado, isso deve ser igual a . Se após o cálculo seguirmos essa igualdade, está tudo certo.
Passo 5
Finalmente, a parte b.2 pede para verificar:
partial^2 fpartial y partial x(0,0) = 1
Aqui, a ordem das derivadas é invertida: primeiro derivamos em relação a partial^2 fpartial y partial x(0,0) = partialpartial y ( partial fpartial x ) g|(0,0) = 1 e depois em relação a , e avaliamos no ponto .
Calculamos:
O enunciado nos diz que esse valor deve ser , então, se o cálculo confirmar isso, a verificação está completa.
Resposta
Conseguimos verificar que:
a. para todo e para todo .