Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial com a condição inicial . Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar uma relação entre e . Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se .
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos determinar . Sabemos que:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando isso a :
Isso implica que , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 5

Então, a função é:
Como , podemos escrever:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Dê exemplos de duas sequências e tais que mas que é divergente.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
Com relação à sequência dada por: .
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Considere a sequência definida por .
Usando o princípio da indução, mostre que e que a sequência é decrescente.