Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
com a condição inicial
. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma
é exata se
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos determinar
. Sabemos que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando isso a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 5
Então, a função
é:
Como
, podemos escrever:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é: