(x^2 + y^2) dx + 2xy dy = 0 y(1) = 1
x^3/3 + x*y^2 = 4/3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial com a condição inicial . Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar uma relação entre e . Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se .
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos determinar . Sabemos que:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando isso a :
Isso implica que , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 5

Então, a função é:
Como , podemos escrever:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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