Dê exemplos de duas sequências
e
tais que
mas que
é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar dois conjuntos de números, chamados de sequências, que vou chamar de
e
. A condição é que, quando a gente aumenta o valor de
(que representa a posição na sequência) para o infinito:
- A sequência
deve se aproximar de zero. - Mas, quando a gente multiplica os termos correspondentes das duas sequências, ou seja, forma a sequência
, essa nova sequência não deve se aproximar de nenhum número específico (isso é o que significa ser divergente).
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites e sequências divergentes. Mas não se preocupa, vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma sequência
que se aproxima de zero conforme
cresce. Uma escolha simples é:
Por que essa escolha? Porque conforme
aumenta,
fica cada vez menor e se aproxima de zero. Por exemplo:
- Quando
, - Quando
, - Quando
,
E assim por diante, ficando bem próximo de zero.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma sequência
que, quando multiplicada por
, faça a sequência
não se aproximar de nenhum número específico. Vamos pensar em uma sequência que oscila sem parar. Uma boa opção é:
Explicando essa escolha:
- O termo
faz a sequência alternar entre e : - Quando
é par, - Quando
é ímpar,
- Quando
- Multiplicando por
, temos: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
- Para
Essa sequência não se estabiliza em nenhum número fixo; ela continua alternando entre valores positivos e negativos que aumentam em magnitude conforme
cresce.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar as duas sequências que escolhemos para formar
:
O que isso significa?
- Para qualquer valor de
, o produto simplifica para , que é: -
quando é par -
quando é ímpar
-
Portanto, a sequência
vai ser:
Essa sequência não se aproxima de nenhum número específico; ela simplesmente continua alternando entre
e
sem parar. Por isso, dizemos que ela é divergente.
Resposta
Um exemplo é tomar
e
. Assim,
, mas a sequência
é divergente.