Dê exemplos de duas sequências ann=1^infty e bnn=1^infty tais que lim n infty an=0 mas que an bnn=1^infty é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar dois conjuntos de números, chamados de sequências, que vou chamar de an e bn. A condição é que, quando a gente aumenta o valor de n (que representa a posição na sequência) para o infinito:
  1. A sequência an deve se aproximar de zero.
  2. Mas, quando a gente multiplica os termos correspondentes das duas sequências, ou seja, forma a sequência an bn, essa nova sequência não deve se aproximar de nenhum número específico (isso é o que significa ser divergente).
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites e sequências divergentes. Mas não se preocupa, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma sequência an que se aproxima de zero conforme n cresce. Uma escolha simples é:
an = 1n
Por que essa escolha? Porque conforme n aumenta, 1/n fica cada vez menor e se aproxima de zero. Por exemplo:
  • Quando n = 1, an = 1
  • Quando n = 10, an = 0,1
  • Quando n = 100, an = 0,01
E assim por diante, ficando bem próximo de zero.

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma sequência bn que, quando multiplicada por an, faça a sequência an bn não se aproximar de nenhum número específico. Vamos pensar em uma sequência que oscila sem parar. Uma boa opção é:
bn = n cdot (-1)^n
Explicando essa escolha:
  • O termo (-1)^n faz a sequência alternar entre 1 e -1:
    • Quando n é par, (-1)^n = 1
    • Quando n é ímpar, (-1)^n = -1
  • Multiplicando por n, temos:
    • Para n = 1: bn = 1 cdot (-1)^1 = -1
    • Para n = 2: bn = 2 cdot (-1)^2 = 2
    • Para n = 3: bn = 3 cdot (-1)^3 = -3
    • E assim por diante.
Essa sequência não se estabiliza em nenhum número fixo; ela continua alternando entre valores positivos e negativos que aumentam em magnitude conforme n cresce.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar as duas sequências que escolhemos para formar an bn:
an bn = 1n cdot n cdot (-1)^n = (-1)^n
O que isso significa?
  • Para qualquer valor de n, o produto simplifica para (-1)^n, que é:
    • 1 quando n é par
    • -1 quando n é ímpar
Portanto, a sequência an bn vai ser:
  • -1, 1, -1, 1, -1, 1, dots
Essa sequência não se aproxima de nenhum número específico; ela simplesmente continua alternando entre -1 e 1 sem parar. Por isso, dizemos que ela é divergente.

Resposta

Um exemplo é tomar an = dfrac1n e bn = n cdot (-1)^n. Assim, limn to infty an = 0, mas a sequência an bn = (-1)^n é divergente.

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