Com relação à sequência dada por: .
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma sequência definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A gente precisa mostrar que essa sequência é crescente e limitada usando o princípio da indução. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sequências, indução matemática e propriedades de crescimento e limitação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os primeiros termos da sequência para ter uma ideia:
Vemos que a sequência começa em 0 e parece estar aumentando. Agora, vamos provar isso usando indução.

Passo 3

Indução para mostrar que a sequência é crescente:
Base da Indução: Quando ,
.
Então, .
Hipótese de Indução: Suponha que para algum , .
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que .
Calculando:

Como , adicionando 6 em ambos:

E aplicando a função raiz quadrada, que é crescente:

Logo, .
Assim, por indução, a sequência é crescente.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada. Queremos encontrar um número que seja maior que todos os termos da sequência.
Vamos supor que a sequência é limitada acima por 3. Vamos verificar:
  • Para , .
  • Se , então:
    .
Portanto, por indução, todos os termos da sequência são menores que 3. Assim, a sequência é limitada acima por 3.

Resposta

A sequência é crescente, limitada acima por 3 e converge para o limite 3.

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Considere a sequência definida por .
Usando o princípio da indução, mostre que e que a sequência é decrescente.
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R.: 1