Com relação à sequência
dada por:
.
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma sequência definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A gente precisa mostrar que essa sequência é crescente e limitada usando o princípio da indução. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sequências, indução matemática e propriedades de crescimento e limitação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os primeiros termos da sequência para ter uma ideia:
Vemos que a sequência começa em 0 e parece estar aumentando. Agora, vamos provar isso usando indução.
Passo 3
Indução para mostrar que a sequência é crescente:
Base da Indução: Quando
,
.
Então, .
Então,
Hipótese de Indução: Suponha que para algum
,
.
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que
.
Calculando:
Calculando:
Como
, adicionando 6 em ambos:
E aplicando a função raiz quadrada, que é crescente:
Logo, .
E aplicando a função raiz quadrada, que é crescente:
Logo,
Assim, por indução, a sequência é crescente.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada. Queremos encontrar um número que seja maior que todos os termos da sequência.
Vamos supor que a sequência é limitada acima por 3. Vamos verificar:
- Para
, . - Se
, então:
.
Portanto, por indução, todos os termos da sequência são menores que 3. Assim, a sequência é limitada acima por 3.
Resposta
A sequência é crescente, limitada acima por 3 e converge para o limite 3.
Exercícios relacionados
Dê exemplos de duas sequências
e
tais que
mas que
é divergente.
Considere a sequência
definida por
.
Usando o princípio da indução, mostre que e que a sequência é decrescente.
Usando o princípio da indução, mostre que
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.: 1