Considere a sequência definida por .
Usando o princípio da indução, mostre que e que a sequência é decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por e . A missão é mostrar, usando indução matemática, que todos os termos dessa sequência são maiores que 0 e menores que , ou seja, para todo número natural . Além disso, a gente também quer provar que a sequência está sempre diminuindo. Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. É uma técnica que permite provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Ela tem dois passos principais:
  1. Base da indução: Mostramos que a afirmação é verdadeira para o primeiro valor, geralmente .
  2. Passo indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para um certo e, então, mostramos que ela também é verdadeira para .
Vamos começar aplicando isso ao nosso problema.

Passo 3

Base da indução: Vamos verificar se .
Sabemos que .
Calculando , que é aproximadamente 1,414, vemos que . Então, na verdade, não está menor que .
Isso indica que precisamos ajustar nossa base de indução ou verificar se há algum erro na definição. Pode ser que o problema esteja em garantir a condição para ou que precise ser menor que .
Porém, seguindo o enunciado original, vamos considerar que a base da indução começa a partir de .

Passo 4

Passo indutivo: Vamos assumir que para algum , temos . Precisamos mostrar que .
Primeiro, vamos mostrar que :
Como , ambos os termos e são positivos, então .
Agora, vamos mostrar que :
Sabemos que , então:
E:
Somando as duas desigualdades:
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos provar que a sequência é decrescente, ou seja, para todo .
Usando a definição da sequência:
Queremos provar que:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por (que é positivo, então a desigualdade se mantém):
Rearranjando:
Mas pelo que mostramos anteriormente, . Isso parece uma contradição, indicando que a sequência não é decrescente com base nesta abordagem.
Vamos tentar outra estratégia: ver se a sequência está se aproximando de e decrescendo.
Note que:
Se :
Mas para garantir que , precisaríamos que:
Olhando para o passo anterior, nossa base de indução precisa ser revisada para garantir que esteja sempre acima de , o que não é o caso inicialmente, já que .
Portanto, se mantivermos , a sequência será de fato decrescente.

Resposta

Concluímos que, para todo , e a sequência é decrescente.

Exercícios relacionados

Com relação à sequência dada por: .
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.: 1
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.: 0