Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por a_n, justificando suas operações
a_n = (raiz(2) + raiz(2^(1/3)) + ... + raiz(2^(1/n))) / n (Dica: 2^(1/n) < 1 + (1/n)) R.: 1

Passo 1

Beleza, a gente tem a sequência definida por . O objetivo é encontrar o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada termo da soma usando potências com expoente fracionário. Sabemos que . Assim, a sequência fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo conforme cresce. Observamos que:
Isso acontece porque qualquer número positivo elevado a uma potência que tende a zero resulta em 1.

Passo 4

Para uma aproximação melhor, usamos a expansão de usando a série de Taylor. Temos:
Essa aproximação é válida para valores grandes de .

Passo 5

Substituindo essa aproximação na soma, temos:
Sabemos que a soma é aproximadamente para grandes . Portanto:

Passo 6

Quando tende ao infinito, o termo tende a zero, já que o crescimento do denominador é muito mais rápido que o do numerador . Assim, temos:

Resposta

O limite da sequência é .

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