Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
Passo 1
Beleza, a gente tem a sequência definida por
. O objetivo é encontrar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada termo da soma usando potências com expoente fracionário. Sabemos que
. Assim, a sequência fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo
conforme
cresce. Observamos que:
Isso acontece porque qualquer número positivo elevado a uma potência que tende a zero resulta em 1.
Passo 4
Para uma aproximação melhor, usamos a expansão de
usando a série de Taylor. Temos:
Essa aproximação é válida para valores grandes de
.
Passo 5
Substituindo essa aproximação na soma, temos:
Sabemos que a soma
é aproximadamente
para grandes
. Portanto:
Passo 6
Quando
tende ao infinito, o termo
tende a zero, já que o crescimento do denominador
é muito mais rápido que o do numerador
. Assim, temos:
Resposta
O limite da sequência é
.
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em torno de
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.: 0
Dê exemplos de duas sequências
e
tais que
mas que
é divergente.