Se f(x, y)=x^2+y^3, qual o valor de partial fpartial x(x^2+y^2, y) e partialpartial x[f(x^2+y^2, y)] ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular duas expressões envolvendo derivadas parciais da função . Vamos precisar entender derivadas parciais e como aplicá-las quando as variáveis são funções umas das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A derivada parcial mede como muda quando apenas varia, mantendo constante.

Passo 3

Derivando partial fpartial x = 2x em relação a :
Isso porque a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é zero, já que é tratado como constante.

Passo 4

Agora, precisamos avaliar no ponto . Isso significa substituir por na expressão da derivada parcial.

Passo 5

Substituindo:
partial fpartial x(x^2 + y^2, y) = 2(x^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: calcular . Aqui, estamos derivando a função composta, onde depende de através de .

Passo 7

Primeiro, substituímos f(x^2 + y^2, y) = (x^2 + y^2)^2 + y^3 pela sua expressão:
Agora, queremos a derivada dessa expressão em relação a .

Passo 8

Derivando em relação a partialpartial x[(x^2 + y^2)^2 + y^3] = 2(x^2 + y^2) cdot 2x + 0 = 4x(x^2 + y^2) :

Resposta

O valor de é e o valor de é .

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