integral duplaE 2 x d V, onde
E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 2,0 <= x <= raiz4-y^2, 0 <= z <= y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a integral tripla integral duplaE 2x , dV sobre a região E definida por:
E = (x, y, z) mid 0 <= y <= 2, 0 <= x <= raiz4 - y^2, 0 <= z <= y
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, para resolver isso. Precisaremos entender os limites de integração para cada variável e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
  • y varia de 0 a 2.
  • Para cada y, x varia de 0 até raiz4 - y^2.
  • Para cada par (x, y), z varia de 0 até y.
Então, nossa integral tripla fica assim:
integraly=0^2 integralx=0^raiz4 - y^2 integralz=0^y 2x , dz , dx , dy

Passo 3

Vamos começar integrando com respeito a z. A função a integrar é 2x, que não depende de z, então:
integralz=0^y 2x , dz = 2x cdot integralz=0^y dz = 2x cdot (y - 0) = 2xy
Agora, nossa integral simplifica para:
integraly=0^2 integralx=0^raiz4 - y^2 2xy , dx , dy

Passo 4

Agora, integramos com respeito a x. A função é 2xy, onde y é tratado como uma constante durante essa integração:
integralx=0^raiz4 - y^2 2xy , dx = 2y cdot integralx=0^raiz4 - y^2 x , dx = 2y cdot [x^22]0^raiz4 - y^2 = 2y cdot (4 - y^22) = y(4 - y^2)
Agora, a integral reduzida é:
integraly=0^2 y(4 - y^2) , dy

Passo 5

Finalmente, integramos com respeito a y:
integraly=0^2 y(4 - y^2) , dy = integral0^2 4y - y^3 , dy = [2y^2 - y^44]0^2
Calculando nos limites:
(2(2)^2 - (2)^44) - (2(0)^2 - (0)^44) = (8 - 4) - (0 - 0) = 4

Resposta

O valor da integral é 4.

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