, onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a integral tripla sobre a região definida por:
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, para resolver isso. Precisaremos entender os limites de integração para cada variável e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
  • y varia de 0 a 2.
  • Para cada y, x varia de 0 até .
  • Para cada par , z varia de 0 até y.
Então, nossa integral tripla fica assim:

Passo 3

Vamos começar integrando com respeito a z. A função a integrar é , que não depende de z, então:
Agora, nossa integral simplifica para:

Passo 4

Agora, integramos com respeito a x. A função é , onde y é tratado como uma constante durante essa integração:
Agora, a integral reduzida é:

Passo 5

Finalmente, integramos com respeito a y:
Calculando nos limites:

Resposta

O valor da integral é 4.

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