Calcule integral duplaE x d V, onde E está delimitado pelos planos z=0 e z=x+y+3, pelos cilindros x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral tripla , onde é a região delimitada pelos planos e , e pelos cilindros e . Basicamente, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e escolher a melhor coordenada para facilitar os cálculos, como coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela está limitada inferiormente pelo plano e superiormente pelo plano . Além disso, no plano , está entre os cilindros e , que são círculos de raio 2 e 3, respectivamente. Isso forma uma espécie de “anel” no plano com altura determinada pelos planos em .

Passo 3

Como a região x = r cos theta y = r sin theta z = z possui simetria circular devido aos cilindros, vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume se transforma em .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada coordenada:
  • varia de 2 a 3, pois está entre os cilindros de raio 2 e 3.
  • varia de 0 a , abrangendo todo o círculo.
  • varia de 0 (plano inferior) até . Em coordenadas cilíndricas, isso fica .

Passo 5

Agora, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE x , dV = integral0^2pi integral2^3 integral0^r (cos theta + sin theta) + 3 (r cos theta) cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, e .

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^r (cos theta + sin theta) + 3 (r cos theta) cdot r , dz = r^2 cos theta [ z ]0^r (cos theta + sin theta) + 3 = r^2 cos theta ( r (cos theta + sin theta) + 3 ) primeiro:

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral2^3 r^2 cos theta (r (cos theta + sin theta) + 3) , dr , dtheta
Vamos expandir o termo dentro dos parênteses:
r (cos theta + sin theta) + 3 = r cos theta + r sin theta + 3
Multiplicando por r^2 cos theta cdot (r cos theta + r sin theta + 3) = r^3 cos^2 theta + r^3 cos theta sin theta + 3 r^2 cos theta :

Passo 8

Agora, a integral se divide em três partes:
integral0^2pi integral2^3 ( r^3 cos^2 theta + r^3 cos theta sin theta + 3 r^2 cos theta ) , dr , dtheta
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 9

Primeiro, a integral de integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi :
integral2^3 r^3 , dr = 14 (3^4 - 2^4) = 14 (81 - 16) = 654
E a integral em 654 cdot pi = 65pi4 :
Multiplicando:

Passo 10

Segundo, a integral de integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta = 0 :
Porque é uma função ímpar em um intervalo completo de a .

Passo 11

Terceiro, a integral de integral0^2pi cos theta , dtheta = 0 :
Novamente, porque é uma função ímpar no intervalo completo.

Passo 12

Somando todas as partes:
65pi4 + 0 + 0 = 65pi4

Resposta

A integral é igual a .

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