Calcule
, onde
está delimitado pelos planos
, pelos cilindros
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral tripla
, onde
é a região delimitada pelos planos
e
, e pelos cilindros
e
. Basicamente, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e escolher a melhor coordenada para facilitar os cálculos, como coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela está limitada inferiormente pelo plano
e superiormente pelo plano
. Além disso, no plano
, está entre os cilindros
e
, que são círculos de raio 2 e 3, respectivamente. Isso forma uma espécie de “anel” no plano
com altura determinada pelos planos em
.
Passo 3
Como a região
possui simetria circular devido aos cilindros, vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume
se transforma em
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada coordenada:
-
varia de 2 a 3, pois está entre os cilindros de raio 2 e 3. -
varia de 0 a , abrangendo todo o círculo. -
varia de 0 (plano inferior) até . Em coordenadas cilíndricas, isso fica .
Passo 5
Agora, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
e
.
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos expandir o termo dentro dos parênteses:
Multiplicando por
:
Passo 8
Agora, a integral se divide em três partes:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 9
Primeiro, a integral de
:
E a integral em
:
Multiplicando:
Passo 10
Segundo, a integral de
:
Porque é uma função ímpar em um intervalo completo de
a
.
Passo 11
Terceiro, a integral de
:
Novamente, porque é uma função ímpar no intervalo completo.
Passo 12
Somando todas as partes:
Resposta
A integral
é igual a
.