, onde é a intersecção do cilindro com o plano , orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para calcular a integral de linha , onde a curva é a interseção do cilindro com o plano , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Stokes. Precisamos entender como aplicar esse teorema para transformar a integral de linha em uma integral de superfície mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada é igual à integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como bordo. Matemáticamente, isso é:
Onde:
é o campo vetorial.
é o rotacional de .
é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Vamos identificar nosso campo vetorial . A integral dada pode ser interpretada como . Agora, precisamos calcular o rotacional desse campo:
Agora, precisamos escolher uma superfície S cuja fronteira seja a curva C. Vamos optar pelo disco que está no plano z = y e que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1. Precisamos encontrar o vetor normal n dessa superfície.
O plano z = y pode ser reescrito como z - y = 0. O vetor normal a esse plano é dado pelos coeficientes dos termos x, y, z na equação, ou seja, n = lang<= 0, -1, 1 rang<=. Para usar o Teorema de Stokes, precisamos que a orientação do vetor normal seja compatível com a orientação da curva C. Como C está orientada anti-horariamente, ajustamos n para lang<= 0, -1, 1 rang<=.
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar (nabla times F) cdot n:
Então, a integral de superfície se simplifica para:
integral duplaS 1 , dS
Passo 7
A integral integral duplaS 1 , dS representa a área da superfície S. Nossa superfície S é a interseção do cilindro x^2 + y^2 = 1 com o plano z = y, que é um círculo com raio 1 no plano inclinado. A área desse círculo é igual à área de um círculo padrão com raio 1, que é pi (1)^2 = pi.
Resposta
A integral ointC[y , dx + (x + y + 2z) , dy + (x + 2y) , dz] é igual a pi.