ointc[y d x+(x+y+2 z) d y+(x+2 y) d z], onde C é a intersecção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=y, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para calcular a integral de linha ointC[y , dx + (x + y + 2z) , dy + (x + 2y) , dz], onde a curva C é a interseção do cilindro x^2 + y^2 = 1 com o plano z = y, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Stokes. Precisamos entender como aplicar esse teorema para transformar a integral de linha em uma integral de superfície mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C é igual à integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície S que tem C como bordo. Matemáticamente, isso é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde:
  • F é o campo vetorial.
  • nabla times F é o rotacional de F.
  • n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Vamos identificar nosso campo vetorial F. A integral dada pode ser interpretada como F = lang<= y, x + y + 2z, x + 2y rang<=. Agora, precisamos calcular o rotacional desse campo:
nabla times F = | ccc i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y & x + y + 2z & x + 2y |

Passo 4

Calculando o determinante:
  • Componente i:
partialpartial y(x + 2y) - partialpartial z(x + y + 2z) = 2 - 2 = 0
  • Componente j:
partialpartial z(y) - partialpartial x(x + 2y) = 0 - 1 = -1
  • Componente k:
partialpartial x(x + y + 2z) - partialpartial y(y) = 1 - 1 = 0
Então,
nabla times F = lang<= 0, -1, 0 rang<=

Passo 5

Agora, precisamos escolher uma superfície S cuja fronteira seja a curva C. Vamos optar pelo disco que está no plano z = y e que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1. Precisamos encontrar o vetor normal n dessa superfície.
O plano z = y pode ser reescrito como z - y = 0. O vetor normal a esse plano é dado pelos coeficientes dos termos x, y, z na equação, ou seja, n = lang<= 0, -1, 1 rang<=. Para usar o Teorema de Stokes, precisamos que a orientação do vetor normal seja compatível com a orientação da curva C. Como C está orientada anti-horariamente, ajustamos n para lang<= 0, -1, 1 rang<=.

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar (nabla times F) cdot n:
lang<= 0, -1, 0 rang<= cdot lang<= 0, -1, 1 rang<= = (0)(0) + (-1)(-1) + (0)(1) = 1
Então, a integral de superfície se simplifica para:
integral duplaS 1 , dS

Passo 7

A integral integral duplaS 1 , dS representa a área da superfície S. Nossa superfície S é a interseção do cilindro x^2 + y^2 = 1 com o plano z = y, que é um círculo com raio 1 no plano inclinado. A área desse círculo é igual à área de um círculo padrão com raio 1, que é pi (1)^2 = pi.

Resposta

A integral ointC[y , dx + (x + y + 2z) , dy + (x + 2y) , dz] é igual a pi.

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