Considere a função f: R^2 R definida por:
f(x, y)=l x y(x^2-y^2)x^2+y^2), se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
(a) Verifique que fx y(0,0) neq fy x(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se as derivadas parciais mistas de ordem diferente na função f(x, y)=l x y(x^2-y^2)x^2+y^2, se (x, y) neq (0,0) 0, se (x, y) = (0,0) são diferentes no ponto . A função dada é:
Vamos precisar usar regras de derivação de funções de duas variáveis e entender como calcular derivadas parciais no ponto específico .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais mistas. As derivadas e significam:
  • : Derivar primeiro em relação a e depois em relação a .
  • : Derivar primeiro em relação a e depois em relação a .
Nosso objetivo é calcular essas duas derivadas no ponto e ver se são iguais.

Passo 3

Vamos começar calculando f(x, y) = x y(x^2-y^2)x^2+y^2 , a derivada parcial de fx(x, y) = (y(x^2-y^2) + x y cdot 2x)(x^2+y^2) - x y(x^2-y^2) cdot 2x(x^2+y^2)^2 em relação a . Para :
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar em relação a :
Simplificando isso seria bem trabalhoso, então vamos focar no que precisamos: calcular .

Passo 4

Para calcular fxy(0,0) = limh to 0 fx(0,h) - fx(0,0)h , precisamos primeiro achar fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0 e depois derivar em relação a . Mas uma maneira mais simples é usar a definição de derivada parcial:
Sabemos que . Calculando :

Passo 5

Agora, calculamos fx(0,h) = limk to 0 f(k,h) - f(0,h)k :
fx(0,h) = limk to 0 f(k,h)k = limk to 0 k h(k^2-h^2)k^2+h^2k = limk to 0 h(k^2-h^2)k^2+h^2
Como h(0 - h^2)0 + h^2 = -h (pois ), temos:
Quando , essa expressão se aproxima de:
Então, .

Passo 6

Agora, voltamos na definição de fxy(0,0) = limh to 0 fx(0,h) - fx(0,0)h = limh to 0 -h - 0h = -1 :

Passo 7

Agora, vamos calcular fyx(0,0) = limh to 0 fy(h,0) - fy(0,0)h seguindo um procedimento semelhante. Primeiro, encontramos fy(0,0) = limh to 0 f(0,h) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0 e depois derivamos em relação a . Usando a definição:
Sabemos que . Calculando :

Passo 8

Agora, calculamos fy(h,0) = limk to 0 f(h,k) - f(h,0)k :
fy(h,0) = limk to 0 f(h,k)k = limk to 0 h k(h^2-k^2)h^2+k^2k = limk to 0 h(h^2-k^2)h^2+k^2
Como h(h^2-0)h^2+0 = h (pois ), temos:
Quando , essa expressão se aproxima de:
Então, .

Passo 9

Voltando na definição de fyx(0,0) = limh to 0 fy(h,0) - fy(0,0)h = limh to 0 h - 0h = 1 :

Resposta

Concluímos que e . Portanto, .

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