Considere a função
definida por:
(a) Verifique que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se as derivadas parciais mistas de ordem diferente na função
são diferentes no ponto
. A função dada é:
Vamos precisar usar regras de derivação de funções de duas variáveis e entender como calcular derivadas parciais no ponto específico
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais mistas. As derivadas
e
significam:
-
: Derivar primeiro em relação a e depois em relação a . -
: Derivar primeiro em relação a e depois em relação a .
Nosso objetivo é calcular essas duas derivadas no ponto
e ver se são iguais.
Passo 3
Vamos começar calculando
, a derivada parcial de
em relação a
. Para
:
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar em relação a
:
Simplificando isso seria bem trabalhoso, então vamos focar no que precisamos: calcular
.
Passo 4
Para calcular
, precisamos primeiro achar
e depois derivar em relação a
. Mas uma maneira mais simples é usar a definição de derivada parcial:
Sabemos que
. Calculando
:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Como
(pois
), temos:
Quando
, essa expressão se aproxima de:
Então,
.
Passo 6
Agora, voltamos na definição de
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
seguindo um procedimento semelhante. Primeiro, encontramos
e depois derivamos em relação a
. Usando a definição:
Sabemos que
. Calculando
:
Passo 8
Agora, calculamos
:
Como
(pois
), temos:
Quando
, essa expressão se aproxima de:
Então,
.
Passo 9
Voltando na definição de
:
Resposta
Concluímos que
e
. Portanto,
.