[3, Ex. 7 p.19] Desenhe as curvas de nível C_k para os valores de k dados:
© z = 2 - (x^2 + y^2), k = 0, 1, 2, 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para desenharmos as curvas de nível para a função nos valores de . Isso faz parte da matéria de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Imagine que você tem uma superfície 3D representada pela função . Uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função tem um valor constante, ou seja, . Essas curvas ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função dada: . Queremos encontrar as curvas de nível para . Para cada valor de , substituímos na equação:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para e em termos de :
Essa é a equação de um círculo no plano , com raio e centro na origem .

Passo 5

Agora, vamos calcular o raio para cada valor de :
  • Para :
    Raio:
  • Para :
    Raio:
  • Para :
    Isso significa que e , ou seja, apenas o ponto .
  • Para :
    Não existe solução real para essa equação, pois um raio não pode ser negativo. Portanto, não há curva de nível para .

Resposta

As curvas de nível para a função são:
  • Para : Círculo de raio , .
  • Para : Círculo de raio , .
  • Para : Ponto único , .
  • Para : Não existe curva de nível real.

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