[3, Ex. 7 p.19] Desenhe as curvas de nível
para os valores de
dados:
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para desenharmos as curvas de nível
para a função
nos valores de
. Isso faz parte da matéria de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Imagine que você tem uma superfície 3D representada pela função
. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
tem um valor constante, ou seja,
. Essas curvas ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função dada:
. Queremos encontrar as curvas de nível para
. Para cada valor de
, substituímos na equação:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
e
em termos de
:
Essa é a equação de um círculo no plano
, com raio
e centro na origem
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o raio para cada valor de
:
-
Para
: Raio: -
Para
: Raio: -
Para
: Isso significa quee , ou seja, apenas o ponto . -
Para
: Não existe solução real para essa equação, pois um raio não pode ser negativo. Portanto, não há curva de nível para.
Resposta
As curvas de nível
para a função
são:
- Para
: Círculo de raio , . - Para
: Círculo de raio , . - Para
: Ponto único , . - Para
: Não existe curva de nível real.