Calcule o trabalho realizado pela força conservativa F = (y * z, x * z, x * y + 1) nos seguintes deslocamentos:
Ao longo da elipse x^2 + y^2/4 = 9, z = 0, no sentido anti-horário, do ponto A(3,0,0) a B(0,6,0);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por uma força conservativa ao mover um objeto ao longo de uma elipse definida por no plano , indo do ponto até o ponto no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de forças conservativas, trabalho realizado por uma força e potenciais associados a essas forças.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma força conservativa é aquela para a qual existe uma função potencial tal que . O trabalho realizado por uma força conservativa em um deslocamento depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

Vamos verificar se a força é realmente conservativa. Para isso, calculamos o rotacional (curl) de :
Onde .

Passo 4

Calculando cada componente:
Então, , o que confirma que é uma força conservativa.

Passo 5

Como a força é conservativa, podemos encontrar uma função potencial tal que . Vamos determinar .
Temos:
Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, derivamos em relação a :
Isso implica que , ou seja, não depende de : .

Passo 7

Derivando em relação a :
Logo, , integrando:
Onde é uma constante.

Passo 8

Portanto, a função potencial é:
Podemos considerar sem perda de generalidade, já que constantes se cancelam na diferença de potenciais.

Passo 9

O trabalho realizado pela força ao mover de para é dado por:
Calculando e :

Resposta

O trabalho realizado pela força no deslocamento de para é igual a zero.

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