Calcule o trabalho realizado pela força conservativa
nos seguintes deslocamentos:
Ao longo da elipse
, no sentido anti-horário, do ponto
a
;
Ao longo da elipse
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por uma força conservativa
ao mover um objeto ao longo de uma elipse definida por
no plano
, indo do ponto
até o ponto
no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de forças conservativas, trabalho realizado por uma força e potenciais associados a essas forças.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma força conservativa é aquela para a qual existe uma função potencial
tal que
. O trabalho realizado por uma força conservativa em um deslocamento depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Passo 3
Vamos verificar se a força
é realmente conservativa. Para isso, calculamos o rotacional (curl) de
:
Onde
.
Passo 4
Calculando cada componente:
Então,
, o que confirma que
é uma força conservativa.
Passo 5
Como a força é conservativa, podemos encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos determinar
.
Temos:
Integrando em relação a
:
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
:
.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Logo,
, integrando:
Onde
é uma constante.
Passo 8
Portanto, a função potencial é:
Podemos considerar
sem perda de generalidade, já que constantes se cancelam na diferença de potenciais.
Passo 9
O trabalho realizado pela força
ao mover de
para
é dado por:
Calculando
e
:
Resposta
O trabalho realizado pela força
no deslocamento de
para
é igual a zero.
Exercícios relacionados
[3, Ex. 7 p.19] Desenhe as curvas de nível
para os valores de
dados:
© .
©
Calcuie a integral curvilínea, sendo
e
é a interseção das superfícies
e
.
Dada a equação paramétrica
:
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; (1,0 ponto)
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; (1,0 ponto)
Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável (bem como a região de validade de cada solução):