Calcule o trabalho realizado pela força conservativa nos seguintes deslocamentos:
Ao longo da elipse , no sentido anti-horário, do ponto a ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por uma força conservativa ao mover um objeto ao longo de uma elipse definida por no plano , indo do ponto até o ponto no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de forças conservativas, trabalho realizado por uma força e potenciais associados a essas forças.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma força conservativa é aquela para a qual existe uma função potencial tal que . O trabalho realizado por uma força conservativa em um deslocamento depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

Vamos verificar se a força é realmente conservativa. Para isso, calculamos o rotacional (curl) de :
Onde .

Passo 4

Calculando cada componente:
Então, , o que confirma que é uma força conservativa.

Passo 5

Como a força é conservativa, podemos encontrar uma função potencial tal que . Vamos determinar .
Temos:
Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, derivamos em relação a :
Isso implica que , ou seja, não depende de : .

Passo 7

Derivando em relação a :
Logo, , integrando:
Onde é uma constante.

Passo 8

Portanto, a função potencial é:
Podemos considerar sem perda de generalidade, já que constantes se cancelam na diferença de potenciais.

Passo 9

O trabalho realizado pela força ao mover de para é dado por:
Calculando e :

Resposta

O trabalho realizado pela força no deslocamento de para é igual a zero.

Exercícios relacionados

[3, Ex. 7 p.19] Desenhe as curvas de nível para os valores de dados:
© .
Calcuie a integral curvilínea, sendo e é a interseção das superfícies e .
Dada a equação paramétrica :
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; (1,0 ponto)
Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável (bem como a região de validade de cada solução):