Dada a equação paramétrica
:
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; (1,0 ponto)
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; (1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de matemática juntos! O enunciado nos dá duas equações paramétricas:
e
, onde
está entre
e
. Nosso objetivo aqui é eliminar o parâmetro
e achar uma equação só em
e
, que é o que chamamos de equação cartesiana. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre identidades trigonométricas, já que estamos lidando com funções trigonométricas como secante e tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a secante e a tangente estão relacionadas à função cosseno. Sabemos que
e
. Vamos usar essas relações para expressar
e
em termos de
e
.
Passo 3
Da equação
, podemos reescrever como
.
Passo 4
Agora, vamos usar a equação
. Substituindo
por
, temos:
Isso nos permite expressar
em termos de
e
:
Passo 5
Sabemos que uma identidade trigonométrica fundamental é:
Vamos substituir
e
pelas expressões que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Somando as frações:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Rearranjando para deixar a equação mais familiar:
Resposta
A equação cartesiana da curva é
.