Dada a equação paramétrica :
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de matemática juntos! O enunciado nos dá duas equações paramétricas: e , onde está entre e . Nosso objetivo aqui é eliminar o parâmetro e achar uma equação só em e , que é o que chamamos de equação cartesiana. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre identidades trigonométricas, já que estamos lidando com funções trigonométricas como secante e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a secante e a tangente estão relacionadas à função cosseno. Sabemos que e . Vamos usar essas relações para expressar e em termos de e .

Passo 3

Da equação , podemos reescrever como .

Passo 4

Agora, vamos usar a equação . Substituindo por , temos:
Isso nos permite expressar em termos de e :

Passo 5

Sabemos que uma identidade trigonométrica fundamental é:
Vamos substituir e pelas expressões que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
Somando as frações:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Rearranjando para deixar a equação mais familiar:

Resposta

A equação cartesiana da curva é .

Exercícios relacionados

Calcule o trabalho realizado pela força conservativa nos seguintes deslocamentos:
Ao longo da elipse , no sentido anti-horário, do ponto a ;
[3, Ex. 7 p.19] Desenhe as curvas de nível para os valores de dados:
© .
Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável (bem como a região de validade de cada solução):
Calcule os limites: