Calcuie a integral curvilínea, sendo f(x, y, z) = x + y e C é a interseção das superfícies z = x^2 + y^2 e z = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral curvilínea onde a função é e a curva é a interseção das superfícies e . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva e depois integrar a função ao longo dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos achar como é a curva . A interseção das duas superfícies acontece quando e . Isso é basicamente um círculo no plano com raio 2. Para parametrizar esse círculo, podemos usar coordenadas polares:
onde varia de a .

Passo 3

Agora, vamos expressar a função em termos do parâmetro . Substituindo as parametrizações:

Passo 4

Precisamos também encontrar o elemento de comprimento ao longo da curva, que é . Para isso, calculamos as derivadas das parametrizações em relação a :
Então,

Passo 5

Agora, montamos a integral curvilínea substituindo e :

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 7

Calculando cada parte:

Resposta

A integral curvilínea é igual a .

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