Calcuie a integral curvilínea, sendo e é a interseção das superfícies e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral curvilínea onde a função é e a curva é a interseção das superfícies e . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva e depois integrar a função ao longo dessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos achar como é a curva . A interseção das duas superfícies acontece quando e . Isso é basicamente um círculo no plano com raio 2. Para parametrizar esse círculo, podemos usar coordenadas polares:
onde varia de a .
Passo 3
Agora, vamos expressar a função em termos do parâmetro . Substituindo as parametrizações:
Passo 4
Precisamos também encontrar o elemento de comprimento ao longo da curva, que é . Para isso, calculamos as derivadas das parametrizações em relação a :
Então,
Passo 5
Agora, montamos a integral curvilínea substituindo e :