Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para representarmos a função como uma série de potências e determinar seu raio e intervalo de convergência. Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor e expansão em séries de potências. Para resolver, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função logarítmica e entender como aplicar essa série a uma função que não está centrada em zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série de Taylor. Observamos que:
Isso nos ajuda a isolar o termo , que sabemos como expandir em série de potências.
Passo 3
Sabemos que a série de Taylor para em torno de é:
No nosso caso, . Então, substituindo na série, temos:
Passo 4
Agora, juntando tudo, a representação da função como série de potências fica:
Essa é a série de potências centrada em .
Passo 5
Para determinar o raio de convergência, olhamos para a condição , que simplifica para . Portanto, o raio de convergência é 4.
Passo 6
O intervalo de convergência é o conjunto de valores de para os quais a série converge. Com , o intervalo é:
Resposta
A função pode ser representada pela série de potências:
O raio de convergência é 4 e o intervalo de convergência é .