Reescreva as integrais abaixo usando o teorema de frações parciais. Não precisa resolver nem encontrar as constantes A1, A2
integral2^3 -2 x+4(x^2+1)(x-1)(x-4)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reescrever uma integral usando o teorema de frações parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente no estudo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar identificar os fatores do denominador e decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: . Aqui temos três fatores:
  • : um fator quadrático que não pode ser fatorado mais (é irreduzível).
  • : um fator linear.
  • : um fator linear elevado ao cubo.

Passo 3

Segundo o teorema de frações parciais, para cada fator linear , teremos termos da forma . Já para fatores quadráticos irreduzíveis como , vamos usar termos da forma .

Passo 4

Aplicando isso à nossa fração, temos:
-2x +4(x^2 +1)(x -1)(x -4)^3 = A x + Bx^2 +1 + Cx -1 + Dx -4 + E(x -4)^2 + F(x -4)^3
Aqui, e são constantes que, em um exercício completo, seriam determinadas.

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral original utilizando essa decomposição:
integral2^3 -2x +4(x^2 +1)(x -1)(x -4)^3 , dx = integral2^3 ( A x + Bx^2 +1 + Cx -1 + Dx -4 + E(x -4)^2 + F(x -4)^3 ) dx

Resposta

A integral reescrita usando o teorema de frações parciais fica:
integral2^3 -2x +4(x^2 +1)(x -1)(x -4)^3 , dx = integral2^3 ( A x + Bx^2 +1 + Cx -1 + Dx -4 + E(x -4)^2 + F(x -4)^3 ) dx

Exercícios relacionados

[2,0 pontos cada item.] Considere a função
f(x) = 3/x + (x-1)/(x^2-1)
(a) Caso existam ponto ou pontos de descontinuidade, explique por que a função abaixo é descontínua nesses pontos.
[3,0 pontos.] Seja
f(x)=ccc x-1 & se & x <= 3 3 x-7 & se & x>3
Justifique o valor de lim x 3 f(x)
Reescreva as integrais abaixo usando o teorema de frações parciais. Não precisa resolver nem encontrar as constantes A1, A2
integral1^2 x^3+2 x+7(x^5)(x^2+1)^3 d x
Resolva as seguintes integrais:
integral1^2 x^2 ln (x) d x