Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução que satisfaça a condição inicial fornecida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
E a condição inicial é . Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante para resolver essa equação. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se:
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Claramente, , então a equação não é exata. Vamos precisar encontrar um fator integrante.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de . Para isso, usamos a fórmula:
Calculando o numerador:
Dividindo pelo :
Vemos que essa expressão depende de e , o que complica a aplicação direta do fator integrante. Nesse caso, vamos optar por uma substituição para simplificar a equação.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Então, derivando ambos os lados em relação a :
Vamos reescrever a equação original em termos de :
Isolando :
Substituindo na expressão de :
Como , podemos substituir :

Passo 5

Agora, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis e :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando o lado esquerdo:
Agora, podemos integrar ambos os lados.

Passo 6

Vamos integrar os dois lados:
  1. Integração do lado esquerdo:
  1. Integração do lado direito:
Vamos resolver:
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 7

Igualando as integrações dos dois lados:
Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :
Sabemos que e , então:

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é dada implicitamente por:

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