Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução
que satisfaça a condição inicial fornecida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
E a condição inicial é
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante para resolver essa equação. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma
é exata se:
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Claramente,
, então a equação não é exata. Vamos precisar encontrar um fator integrante.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
. Para isso, usamos a fórmula:
Calculando o numerador:
Dividindo pelo
:
Vemos que essa expressão depende de
e
, o que complica a aplicação direta do fator integrante. Nesse caso, vamos optar por uma substituição para simplificar a equação.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Vamos reescrever a equação original em termos de
:
Isolando
:
Substituindo na expressão de
:
Como
, podemos substituir
:
Passo 5
Agora, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando o lado esquerdo:
Agora, podemos integrar ambos os lados.
Passo 6
Vamos integrar os dois lados:
- Integração do lado esquerdo:
- Integração do lado direito:
Vamos resolver:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 7
Igualando as integrações dos dois lados:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial
é dada implicitamente por: