Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação linear:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante é:
Como
está no denominador original, assumimos
e podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação linear original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Então, integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição:
Se , então
, ou
.
Portanto:
Se
Portanto:
Passo 7
Agora, temos:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução
que satisfaça a condição inicial fornecida.
Nos itens abaixo, calcule o limite e discuta a continuidade das funções:
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução
que satisfaça a condição inicial fornecida.