Considere a equação diferencial:
x y' + 2 y = e^(x^2)
Resolva a equação diferencial e determine a solução y(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação linear:
Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( ), que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante é:
Como está no denominador original, assumimos e podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação linear original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Então, integramos ambos os lados em relação a :

Passo 6

A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição:
Se , então , ou .
Portanto:

Passo 7

Agora, temos:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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