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Calcule
integral triplaT z d x d y d z
onde T é a região delimitada superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=16 e inferiormente pelo cône z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral tripla
integral triplaT z , dx , dy , dz
onde a região é limitada superiormente pela esfera e inferiormente por um cone dado por .
Conteúdo envolvido: Para resolver isso, vamos usar coordendas cilíndricas, que são super úteis para regiões com simetria circular, como esferas e cones. Também vamos precisar entender como configurar os limites de integração nessa coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações da esfera e do cone para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • x^2 + y^2 = r^2
  • r^2 + z^2 = 16 Rightarrow z = raiz16 - r^2
  • z = r
E a relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
Transformando a esfera: A esfera vira:
Transformando o cone: O cone fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os limites de integração para r = raiz16 - r^2 Rightarrow r^2 = 16 - r^2 Rightarrow 2r^2 = 16 Rightarrow r^2 = 8 Rightarrow r = 2raiz2 , e .
  • : Como a região é completa em torno do eixo , varia de a .
  • : Para encontrar os limites de , vamos igualar as duas equações de :
    Então, varia de a .
  • : Para cada , varia de (base do cone) até (superior da esfera).

Passo 4

Com os limites definidos, vamos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é integral0^2pi integral0^2raiz2 integralr^raiz16 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta e que a função a ser integrada é .
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral por partes, começando pela integração em relação a integralr^raiz16 - r^2 z cdot r , dz .
Primeiro, a integral interna:
r integralr^raiz16 - r^2 z , dz
Aqui, r [ z^22 ]r^raiz16 - r^2 = r ( 16 - r^22 - r^22 ) = r ( 16 - 2r^22 ) = r ( 8 - r^2 ) = 8r - r^3 é constante em relação a , então podemos tirar para fora:
Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral de integral0^2pi integral0^2raiz2 (8r - r^3) , dr , dtheta e integral0^2raiz2 8r - r^3 , dr = integral0^2raiz2 8r , dr - integral0^2raiz2 r^3 , dr :
4r^2 - r^44 g|0^2raiz2 = 4(8) - (2raiz2)^44 = 32 - 16 cdot 44 = 32 - 16 = 16
Vamos resolver a integral em :
Calculando cada parte:
Portanto:

Passo 7

Agora, restou integrar em integral0^2pi 16 , dtheta = 16 cdot theta g|0^2pi = 16 cdot 2pi = 32pi :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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