36
Calcule
onde é a região delimitada superiormente pela esfera e inferiormente pelo cône .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral tripla
onde a região é limitada superiormente pela esfera e inferiormente por um cone dado por .
Conteúdo envolvido: Para resolver isso, vamos usar coordendas cilíndricas, que são super úteis para regiões com simetria circular, como esferas e cones. Também vamos precisar entender como configurar os limites de integração nessa coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações da esfera e do cone para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
Transformando a esfera: A esfera vira:
Transformando o cone: O cone fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os limites de integração para , e .
  • : Como a região é completa em torno do eixo , varia de a .
  • : Para encontrar os limites de , vamos igualar as duas equações de :
    Então, varia de a .
  • : Para cada , varia de (base do cone) até (superior da esfera).

Passo 4

Com os limites definidos, vamos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é e que a função a ser integrada é .
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral por partes, começando pela integração em relação a .
Primeiro, a integral interna:
Aqui, é constante em relação a , então podemos tirar para fora:
Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral de e :
Vamos resolver a integral em :
Calculando cada parte:
Portanto:

Passo 7

Agora, restou integrar em :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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â
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