onde é a região delimitada superiormente pela esfera e inferiormente pelo cône .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular a integral tripla
onde a região é limitada superiormente pela esfera e inferiormente por um cone dado por .
Conteúdo envolvido: Para resolver isso, vamos usar coordendas cilíndricas, que são super úteis para regiões com simetria circular, como esferas e cones. Também vamos precisar entender como configurar os limites de integração nessa coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações da esfera e do cone para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
Transformando a esfera: A esfera vira:
Transformando o cone: O cone fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os limites de integração para , e .
: Como a região é completa em torno do eixo , varia de a .
: Para encontrar os limites de , vamos igualar as duas equações de :
Então, varia de a .
: Para cada , varia de (base do cone) até (superior da esfera).
Passo 4
Com os limites definidos, vamos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é e que a função a ser integrada é .
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral por partes, começando pela integração em relação a .
Primeiro, a integral interna:
Aqui, é constante em relação a , então podemos tirar para fora:
Integrando em relação a :
Passo 6
Agora, substituímos o resultado na integral de e :