[30] Uma esfera maciça homogênea de massa
e raio
pode girar em torno de um eixo vertical sem atrito (conforme figura ao lado). Uma corda de massa desprezível está enrolada no equador da esfera, passa por uma polia de momento de inércia
e raio
e está presa a um pequeno objeto de massa
. Não há atrito no eixo da polia e a corda não escorrega na esfera nem na polia. Qual é a velocidade do objeto depois de cair uma altura
após ter sido liberado a partir do repouso? Use considerações de energia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre uma esfera maciça homogênea que gira sem atrito, uma corda que envolve a esfera e passa por uma polia, e um objeto que desce preso a essa corda. A gente precisa encontrar a velocidade do objeto depois que ele desce uma altura
. Para isso, vamos usar o conceito de conservação de energia, que ajuda a relacionar a energia potencial inicial com as energias cinética da esfera, da polia e do objeto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas no sistema. Quando o objeto está no alto, ele tem energia potencial gravitacional. Conforme ele desce, essa energia é convertida em energia cinética do objeto e em energia cinética de rotação da esfera e da polia.
A energia potencial inicial do objeto é dada por:
onde
é a massa do objeto,
é a aceleração da gravidade e
é a altura.
Passo 3
Agora, vamos considerar as energias cinéticas depois que o objeto desce a altura
.
A energia cinética do objeto em movimento é:
onde
é a velocidade que queremos encontrar.
A esfera e a polia estão girando, então elas também têm energia cinética rotacional. A energia cinética rotacional é dada por:
onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Passo 4
Como a corda não escorrega, a velocidade linear
do objeto está relacionada à velocidade angular
das rotações pela relação:
para a esfera, e
para a polia.
Vamos resolver essas relações para
:
Passo 5
Substituindo
nas expressões das energias rotacionais:
Para a esfera:
Para a polia:
Assumindo que a esfera é uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Passo 6
Agora, aplicando a conservação de energia:
Substituindo as expressões:
Simplificando:
Passo 7
Fatorando
:
Resolvendo para
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade do objeto depois de cair a altura
é: