Calcule o potencial eletrostático produzido por uma esfera de raio
uniformemente polarizada, com vetor polarização
, diretamente através da equação:
em que
é a região ocupada pela esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o potencial eletrostático gerado por uma esfera de raio
que está uniformemente polarizada, ou seja, com um vetor de polarização constante
. Para isso, vamos usar a equação fornecida:
Aqui,
é o volume ocupado pela esfera. Vamos precisar entender um pouco sobre polarização e potenciais eletrostáticos para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é polarização. A polarização
é uma medida de quanto os dipolos elétricos dentro de um material estão alinhados. No nosso caso, a esfera está uniformemente polarizada, ou seja,
, uma constante para todo ponto dentro da esfera.
Passo 3
A equação do potencial
envolve uma integral sobre o volume da esfera. Para simplificar, vamos notar que a polarização é constante, então podemos tirar
da integral:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral:
Essa integral é conhecida em eletrostática e está relacionada ao cálculo do potencial devido a uma distribuição contínua de cargas ou dipolos.
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar o fato de que, devido à simetria da esfera, podemos escolher coordenadas onde o ponto
está fora da esfera e simplificar a expressão. A distância
pode ser expandida usando coordenadas esféricas.
Passo 6
Após realizar a integração, que envolve cálculo trigonométrico e aplicação de identidades esféricas, encontramos que o potencial fora da esfera é igual ao potencial de um dipolo colocado no centro da esfera. Isso ocorre porque a polarização uniforme cria um momento dipolar equivalente.
Passo 7
O momento dipolar total
da esfera é dado por:
Passo 8
Substituindo o momento dipolar na expressão do potencial de um dipolo, temos:
Onde
é a distância do centro da esfera ao ponto onde estamos calculando o potencial.
Resposta
O potencial eletrostático produzido pela esfera polarizada é dado por: