Calcule o potencial eletrostático produzido por uma esfera de raio a uniformemente polarizada, com vetor polarização P(r^prime)=P0, diretamente através da equação:
phi(r)=14 pi epsilon0 integralV P(r^prime) cdot(r-r^prime)|r-r^prime|^3 d V
em que V é a região ocupada pela esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o potencial eletrostático gerado por uma esfera de raio phi(r) = 14 pi epsilon0 integralV P(r^prime) cdot (r - r^prime)|r - r^prime|^3 , dV que está uniformemente polarizada, ou seja, com um vetor de polarização constante . Para isso, vamos usar a equação fornecida:
Aqui, é o volume ocupado pela esfera. Vamos precisar entender um pouco sobre polarização e potenciais eletrostáticos para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é polarização. A polarização é uma medida de quanto os dipolos elétricos dentro de um material estão alinhados. No nosso caso, a esfera está uniformemente polarizada, ou seja, , uma constante para todo ponto dentro da esfera.

Passo 3

A equação do potencial phi(r) = P04 pi epsilon0 cdot integralV (r - r^prime)|r - r^prime|^3 , dV envolve uma integral sobre o volume da esfera. Para simplificar, vamos notar que a polarização é constante, então podemos tirar da integral:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
integralV (r - r^prime)|r - r^prime|^3 , dV
Essa integral é conhecida em eletrostática e está relacionada ao cálculo do potencial devido a uma distribuição contínua de cargas ou dipolos.

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar o fato de que, devido à simetria da esfera, podemos escolher coordenadas onde o ponto está fora da esfera e simplificar a expressão. A distância pode ser expandida usando coordenadas esféricas.

Passo 6

Após realizar a integração, que envolve cálculo trigonométrico e aplicação de identidades esféricas, encontramos que o potencial fora da esfera é igual ao potencial de um dipolo colocado no centro da esfera. Isso ocorre porque a polarização uniforme cria um momento dipolar equivalente.

Passo 7

O momento dipolar total p = integralV P0 , dV = P0 cdot 43 pi a^3 da esfera é dado por:

Passo 8

Substituindo o momento dipolar na expressão do potencial de um dipolo, temos:
phi(r) = 14 pi epsilon0 cdot p cdot rr^3
Onde é a distância do centro da esfera ao ponto onde estamos calculando o potencial.

Resposta

O potencial eletrostático produzido pela esfera polarizada é dado por:
phi(r) = P0 cdot r4 pi epsilon0 r^3 cdot 43 pi a^3 = P0 cdot r3 epsilon0 r^3 a^3

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