Calcule os momentos de multipolo - monopolo, dipolo e quadrupolo - para as seguintes distribuições:
(i) rho(r)=q de
(ii) rho(r)=q de
(iii) rho(r)=sumi=1^N qi de

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular os momentos de multipolo — monopolo, dipolo e quadrupolo — para diferentes distribuições de carga. Os momentos de multipolo são ferramentas importantes em física para descrever como as cargas estão distribuídas no espaço. Para resolver isso, precisamos entender o que cada tipo de momento representa:
  • Monopolo: Representa a carga total do sistema.
  • Dipolo: Descreve a separação de cargas positivas e negativas.
  • Quadrupolo: Fornece informações sobre a distribuição mais detalhada das cargas, além do dipolo.
Vamos calcular esses momentos para cada uma das distribuições de carga fornecidas.

Passo 2

Distribuição (i): Q = integral rho(r) , d^3r = integral q de
Primeiro, vamos calcular o monopolo. O monopolo é simplesmente a carga total do sistema.
p = integral r rho(r) , d^3r = integral r cdot q de
Agora, para o dipolo, usamos a definição:
Qij = integral (3 ri rj - r^2 de
Finalmente, o quadrupolo é dado por:

Passo 3

Distribuição (ii): Q = q - q = 0
Primeiro, o monopolo:
p = q r+ - q r- = q (r+ - r-)
Como a carga total é zero, não há monopolo.
Para o dipolo:
Qij = [3 r+i r+j - r+^2 de
E para o quadrupolo:

Passo 4

Distribuição (iii): Q = sumi=1^N qi
Primeiro, o monopolo é a soma de todas as cargas:
p = sumi=1^N qi ri
Para o dipolo:
Qij = sumi=1^N qi (3 ri^i ri^j - ri^2 de
E o quadrupolo:

Resposta

Calculamos os momentos de multipolo para cada distribuição:
  1. Distribuição (i):
    • Monopolo:
    • Dipolo:
    • Quadrupolo:
  2. Distribuição (ii):
    • Monopolo:
    • Dipolo:
    • Quadrupolo:
  3. Distribuição (iii):
    • Monopolo:
    • Dipolo:
    • Quadrupolo:

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