Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da função . Vamos usar conceitos de limites e funções trigonométricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da função representa:
  • : É a função arco seno, que é o inverso da função seno. Ela nos dá o ângulo cujo seno é .
  • : É a função cotangente, que é o inverso da tangente. Podemos escrever .
Nosso objetivo é encontrar o limite quando se aproxima de 0 dessa expressão toda.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão do limite para facilitar a análise:
Agora, substituímos isso na expressão original multiplicada por 30:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de cada parte quando se aproxima de 0:
  • : Para valores pequenos de , podemos aproximar .
  • : Sabemos que e perto de 0, .
  • : Para pequenos , .
Substituindo essas aproximações na expressão:

Passo 5

Simplificando a expressão aproximada:
Agora, analisamos o limite quando :

Passo 6

Observamos que quando se aproxima de 0, o termo tende ao infinito. Portanto:
Multiplicando isso por 30:

Resposta

O limite solicitado é infinito, ou seja, .

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e
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