30 lim x 0(sen^-1(x)+1) cot (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da função . Vamos usar conceitos de limites e funções trigonométricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da função representa:
  • : É a função arco seno, que é o inverso da função seno. Ela nos dá o ângulo cujo seno é .
  • : É a função cotangente, que é o inverso da tangente. Podemos escrever .
Nosso objetivo é encontrar o limite quando se aproxima de 0 dessa expressão toda.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão do limite para facilitar a análise:
limx to 0 (arcsin(x) + 1) cot(x) = limx to 0 (arcsin(x) + 1) cos(x)sin(x)
Agora, substituímos isso na expressão original multiplicada por 30:
30 times limx to 0 (arcsin(x) + 1) cos(x)sin(x)

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de cada parte quando (arcsin(x) + 1) cos(x)sin(x) approx (x + 1) 1x se aproxima de 0:
  • : Para valores pequenos de , podemos aproximar .
  • : Sabemos que e perto de 0, .
  • : Para pequenos , .
Substituindo essas aproximações na expressão:

Passo 5

Simplificando a expressão aproximada:
(x + 1) 1x = xx + 1x = 1 + 1x
Agora, analisamos o limite quando limx to 0 (1 + 1x) :

Passo 6

Observamos que quando limx to 0 (1 + 1x) = +infty se aproxima de 0, o termo 30 times (+infty) = +infty tende ao infinito. Portanto:
Multiplicando isso por 30:

Resposta

O limite solicitado é infinito, ou seja, .

Exercícios relacionados