Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da função
. Vamos usar conceitos de limites e funções trigonométricas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da função representa:
-
: É a função arco seno, que é o inverso da função seno. Ela nos dá o ângulo cujo seno é . -
: É a função cotangente, que é o inverso da tangente. Podemos escrever .
Nosso objetivo é encontrar o limite quando
se aproxima de 0 dessa expressão toda.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão do limite para facilitar a análise:
Agora, substituímos isso na expressão original multiplicada por 30:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de cada parte quando
se aproxima de 0:
-
: Para valores pequenos de , podemos aproximar . -
: Sabemos que e perto de 0, . -
: Para pequenos , .
Substituindo essas aproximações na expressão:
Passo 5
Simplificando a expressão aproximada:
Agora, analisamos o limite quando
:
Passo 6
Observamos que quando
se aproxima de 0, o termo
tende ao infinito. Portanto:
Multiplicando isso por 30:
Resposta
O limite solicitado é infinito, ou seja,
.