Usando as regras de derivação, calcule a derivada da função a seguir:
g(x) = (x^3 + 2) / (x^3 - 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente precisa encontrar a derivada da função . Esse exercício envolve as regras de derivação, especificamente a regra do quociente, que é usada quando você tem uma fração de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que formam o quociente. No caso, temos:
  • (a parte de cima)
  • (a parte de baixo)

Passo 3

A regra do quociente para derivadas diz que se você tem uma função , a derivada é:
Ou seja, você deriva a parte de cima, multiplica pela parte de baixo, menos a parte de cima vezes a derivada da parte de baixo, tudo dividido pelo quadrado da parte de baixo.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de e :
  • Derivada de é
  • Derivada de é

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente com essas derivadas:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é .

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