Resolva os problemas de valor inicial, utilizando o método da transformada de Laplace (Escolher um para entregar).
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais
e
. Vamos resolver isso usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta bem legal para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de
é
, então:
Passo 3
Agora, usamos as propriedades da transformada de Laplace para derivadas:
Substituindo na equação:
Passo 4
Simplificando a equação:
Fatorando
:
Então, isolamos
:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o denominador completando o quadrado ou usando a fórmula de Bhaskara. O denominador
tem raízes:
Então, podemos escrever:
Isso se parece com a forma da transformada de Laplace para funções exponenciais e senoides, então aplicando a transformada inversa, obtemos:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas primeira e segunda de cada função a seguir:
Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, definidas para
(Escolher dois para entregar).
Usando a definição de derivada, determine o coeficiente angular,
da reta tangente à curva
no ponto
em cada caso.
e