Resolva os problemas de valor inicial, utilizando o método da transformada de Laplace (Escolher um para entregar).

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial de segunda ordem: com condições iniciais e . Vamos resolver isso usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta bem legal para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de é , então:

Passo 3

Agora, usamos as propriedades da transformada de Laplace para derivadas:
Substituindo na equação:

Passo 4

Simplificando a equação:
Fatorando :
Então, isolamos :

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador completando o quadrado ou usando a fórmula de Bhaskara. O denominador tem raízes:
Então, podemos escrever:
Isso se parece com a forma da transformada de Laplace para funções exponenciais e senoides, então aplicando a transformada inversa, obtemos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine as derivadas primeira e segunda de cada função a seguir:
Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, definidas para (Escolher dois para entregar).
Usando a definição de derivada, determine o coeficiente angular, da reta tangente à curva no ponto em cada caso.
e