Usando a definição de derivada, determine o coeficiente angular,
da reta tangente à curva
no ponto
em cada caso.
e
Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o coeficiente angular,
, da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivada. Precisaremos entender como calcular a derivada de uma função usando o limite e aplicar isso à função dada
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto específico nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. A definição de derivada é:
Isso significa que vamos calcular essa expressão para
.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula da derivada. A função dada é
. Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
. Vamos substituir
por
na função:
Vamos expandir isso:
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença
. Sabemos que
. Então:
Passo 6
Vamos agora dividir essa diferença por
:
Passo 7
Por fim, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente à curva
no ponto
é
.
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