Usando a tabela de transformadas de Laplace, determine a inversa das seguintes funções (Escolher três para entregar).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a transformada inversa de Laplace da função:
Matéria envolvida: Transformadas de Laplace, especificamente a inversa, que nos ajuda a passar do domínio da frequência de volta para o domínio do tempo.
O que vamos precisar:
- Identificar a estrutura da função para aplicar a tabela de transformadas.
- Completar o quadrado no denominador para facilitar a identificação das transformadas conhecidas.
- Separar a fração para aplicar as propriedades da transformada inversa de forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador para facilitar o processo. O denominador é
. Para completar o quadrado, fatoramos o 2:
Agora, completamos o quadrado para a expressão
:
Portanto,
Assim, o denominador fica:
Passo 3
Agora, reescrevemos a função original com o denominador simplificado:
Vamos simplificar o numerador
fatorando o 3:
Então, a função fica:
Passo 4
Para facilitar a aplicação da tabela de transformadas de Laplace, vamos ajustar a forma para se parecer com formas comuns que conhecemos, como a transformada de uma exponencial multiplicada por seno ou cosseno.
Observe que o denominador pode ser reescrito como:
Então, a função agora é:
Passo 5
Vamos separar o numerador de forma a expressar a função como uma soma de termos que correspondem a transformadas conhecidas. Observe que:
Então, a função se torna:
Passo 6
Agora, identificamos cada termo com a tabela de transformadas de Laplace inversas.
- Primeiro termo:
Compare com a transformada de
:
Aqui,
e
. Então, o inverso é:
- Segundo termo:
Compare com a transformada de
:
Aqui,
e
. Então, o inverso é:
Passo 7
Agora, juntamos os dois termos para obter a transformada inversa completa:
Resposta
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da reta tangente à curva
no ponto
em cada caso.
e
Usando as regras de derivação, calcule a derivada da função a seguir:
Determine a derivada da função composta a seguir: