30.1. Mostre que a equação (17) pode ser colocada na forma
Logo a equação (17) é homogênea.
30.2. Introduza uma nova variável dependente de modo que , ou . Expresse em função de e .
30.3. Substitua e na equação (18) pelas expressões no item 30.2 envolvendo e . Mostre que a equação diferencial se torna
30.4. Resolva a equação (19) obtendo implicitamente como função de .
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo por na solução encontrada no item 30.4.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício nos apresenta uma equação diferencial da forma
O conteúdo que estamos lidando aqui é equações diferenciais homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a homogeneidade da equação e usar uma substituição que simplifique a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de modo a destacar as proporções entre e . Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por , ficamos com:
Essa forma mostra que a equação é homogênea, porque os termos estão expressos em função de , que é uma relação de grau zero.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir uma nova variável tal que:
Isso implica que . Agora, vamos derivar em relação a :
Aqui usamos a regra do produto para derivar .

Passo 4

Com as expressões de e , vamos substituir na equação original:
Agora, vamos isolar :
Isso simplifica a equação diferencial para uma forma que depende apenas de e .

Passo 5

Temos agora uma equação separável:
Vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados, conseguimos encontrar uma relação entre e :
Resolvendo as integrais, obtemos uma expressão implícita para em função de .

Resposta

Finalmente, substituindo na solução encontrada, obtemos a solução geral da equação diferencial original:
ãçã
Essa é a solução da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados

Mostre que
29.1. Se é solução de (16), então
onde é uma constante, também é solução de (16)
29.2. Se e são soluções de (16), então
é também solução de (16)
29.3. Se e são soluções de
onde é uma constante, mostre que
com também constante.
então:
24.1. A substituição na equação (8) implica
24.2. A substituição em (9) implica
24.3. Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem (10), e depois substitua para encontrar e mostre que é igual a
34.1. Mostre que a solução geral para (22) é dada por
onde é uma constante.
34.2. Faça e escolhendo , mostre que a solução particular é dada por
onde e é a população no instante , com a taxa de mortalidade e rearranjarmos as constantes, obtemos o modelo logístico
A equação (25) tem duas soluções de equilíbrio (constantes): e . Mostre que uma solução para (25) é da forma