30.1. Mostre que a equação (17) pode ser colocada na forma
Logo a equação (17) é homogênea.
30.2. Introduza uma nova variável dependente
de modo que
, ou
. Expresse
em função de
e
.
30.3. Substitua
e
na equação (18) pelas expressões no item 30.2 envolvendo
e
. Mostre que a equação diferencial se torna
30.4. Resolva a equação (19) obtendo
implicitamente como função de
.
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo
por
na solução encontrada no item 30.4.
30.2. Introduza uma nova variável dependente
30.3. Substitua
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício nos apresenta uma equação diferencial da forma
O conteúdo que estamos lidando aqui é equações diferenciais homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a homogeneidade da equação e usar uma substituição que simplifique a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de modo a destacar as proporções entre
e
. Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
, ficamos com:
Essa forma mostra que a equação é homogênea, porque os termos estão expressos em função de
, que é uma relação de grau zero.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir uma nova variável
tal que:
Isso implica que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui usamos a regra do produto para derivar
.
Passo 4
Com as expressões de
e
, vamos substituir na equação original:
Agora, vamos isolar
:
Isso simplifica a equação diferencial para uma forma que depende apenas de
e
.
Passo 5
Temos agora uma equação separável:
Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados, conseguimos encontrar uma relação entre
e
:
Resolvendo as integrais, obtemos uma expressão implícita para
em função de
.
Resposta
Finalmente, substituindo
na solução encontrada, obtemos a solução geral da equação diferencial original:
Essa é a solução da equação diferencial dada.
Exercícios relacionados
Mostre que
29.1. Se é solução de (16), então
29.1. Se
onde
é uma constante, também é solução de (16)
29.2. Se e
são soluções de (16), então
29.2. Se
é também solução de (16)
29.3. Se e
são soluções de
29.3. Se
onde
é uma constante, mostre que
com
também constante.
então:
24.1. A substituição na equação (8) implica
24.1. A substituição
24.2. A substituição
em (9) implica
24.3. Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem (10), e depois substitua
para encontrar
e mostre que é igual a
34.1. Mostre que a solução geral para (22) é dada por
onde
é uma constante.
34.2. Faça e escolhendo
, mostre que a solução particular é dada por
34.2. Faça
onde
e
é a população no instante
, com a taxa de mortalidade e rearranjarmos as constantes, obtemos o modelo logístico
A equação (25) tem duas soluções de equilíbrio (constantes):
e
. Mostre que uma solução para (25) é da forma