d y/d x = (y - 4 x)/(x - y)
30.1. Mostre que a equação (17) pode ser colocada na forma
d/dx y = (y/x - 4) / (1 - y/x)
Logo a equação (17) é homogênea.
30.2. Introduza uma nova variável dependente v de modo que v = y/x, ou y = x v(x). Expresse d/y d/x em função de x, v e d v / d x.
30.3. Substitua y e d/y d/x na equação (18) pelas expressões no item 30.2 envolvendo v e d v / d x. Mostre que a equação diferencial se torna
x * d v/d x = (v^2 - 4)/(1 - v)
30.4. Resolva a equação (19) obtendo v implicitamente como função de x.
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo v por y/x na solução encontrada no item 30.4.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício nos apresenta uma equação diferencial da forma
O conteúdo que estamos lidando aqui é equações diferenciais homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a homogeneidade da equação e usar uma substituição que simplifique a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de modo a destacar as proporções entre e . Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por , ficamos com:
Essa forma mostra que a equação é homogênea, porque os termos estão expressos em função de , que é uma relação de grau zero.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir uma nova variável tal que:
Isso implica que . Agora, vamos derivar em relação a :
Aqui usamos a regra do produto para derivar .

Passo 4

Com as expressões de e , vamos substituir na equação original:
Agora, vamos isolar :
Isso simplifica a equação diferencial para uma forma que depende apenas de e .

Passo 5

Temos agora uma equação separável:
Vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados, conseguimos encontrar uma relação entre e :
Resolvendo as integrais, obtemos uma expressão implícita para em função de .

Resposta

Finalmente, substituindo na solução encontrada, obtemos a solução geral da equação diferencial original:
ãçã
Essa é a solução da equação diferencial dada.

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