30.1. Mostre que a equação (17) pode ser colocada na forma
Logo a equação (17) é homogênea.
30.2. Introduza uma nova variável dependente
de modo que
, ou
. Expresse
em função de
e
.
30.3. Substitua
e
na equação (18) pelas expressões no item 30.2 envolvendo
e
. Mostre que a equação diferencial se torna
30.4. Resolva a equação (19) obtendo
implicitamente como função de
.
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo
por
na solução encontrada no item 30.4.
30.2. Introduza uma nova variável dependente
30.3. Substitua
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício nos apresenta uma equação diferencial da forma
O conteúdo que estamos lidando aqui é equações diferenciais homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a homogeneidade da equação e usar uma substituição que simplifique a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de modo a destacar as proporções entre
e
. Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
, ficamos com:
Essa forma mostra que a equação é homogênea, porque os termos estão expressos em função de
, que é uma relação de grau zero.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir uma nova variável
tal que:
Isso implica que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui usamos a regra do produto para derivar
.
Passo 4
Com as expressões de
e
, vamos substituir na equação original:
Agora, vamos isolar
:
Isso simplifica a equação diferencial para uma forma que depende apenas de
e
.
Passo 5
Temos agora uma equação separável:
Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados, conseguimos encontrar uma relação entre
e
:
Resolvendo as integrais, obtemos uma expressão implícita para
em função de
.
Resposta
Finalmente, substituindo
na solução encontrada, obtemos a solução geral da equação diferencial original:
Essa é a solução da equação diferencial dada.