Mostre que
29.1. Se
é solução de (16), então
onde
é uma constante, também é solução de (16)
29.2. Se
e
são soluções de (16), então
é também solução de (16)
29.3. Se
e
são soluções de
onde
é uma constante, mostre que
com
também constante.
29.1. Se
29.2. Se
29.3. Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver essas partes, vamos precisar entender como funcionam as soluções dessas equações e como combinar soluções conhecidas para encontrar novas soluções.
Passo 2
29.1. Se
é solução de (16), então
também é solução.
Primeiro, vamos assumir que
é uma solução da equação diferencial, ou seja:
Queremos mostrar que
, onde
é uma constante, também satisfaz a equação.
Vamos substituir
na equação original:
Como
é constante, a derivada fica:
Podemos fatorar
:
Sabemos que
, então:
Portanto,
também é solução da equação diferencial.
29.2. Se
e
são soluções de (16), então
também é solução.
Vamos assumir que ambas
e
são soluções da equação:
Queremos mostrar que
também satisfaz a equação.
Calculando a derivada de
:
Substituindo na equação original:
Reorganizando:
Isso confirma que
também é solução da equação diferencial.
29.3. Se
e
são soluções de
, onde
é constante, mostre que
com
também constante.
Primeiro, sabemos que
é solução da equação homogênea
:
Agora, consideramos
como solução da equação não homogênea:
Vamos calcular
:
Substituindo na equação não homogênea:
Sabemos que
, então substituímos:
Resolvendo para
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Portanto, mostramos que:
Resposta
Mostramos que:
-
é solução da equação dada. -
também é solução. -
com constante.
Exercícios relacionados
então:
24.1. A substituição na equação (8) implica
24.1. A substituição
24.2. A substituição
em (9) implica
24.3. Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem (10), e depois substitua
para encontrar
e mostre que é igual a
onde
é a temperatura no prédio num instante
é a temperatura externa,
é a temperatura desejada para o prédio,
é a taxa de aumento de
decorrente do funcionamento de máquinas e da presença de pessoas no prédio, e
e
são constantes (negativas). Resolva essa EDO, supondo que
constante,
constante, e
varie senoidalmente ao longo de 24h, digamos
30.1. Mostre que a equação (17) pode ser colocada na forma
Logo a equação (17) é homogênea.
30.2. Introduza uma nova variável dependente de modo que
, ou
. Expresse
em função de
e
.
30.3. Substitua e
na equação (18) pelas expressões no item 30.2 envolvendo
e
. Mostre que a equação diferencial se torna
30.2. Introduza uma nova variável dependente
30.3. Substitua
30.4. Resolva a equação (19) obtendo
implicitamente como função de
.
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo por
na solução encontrada no item 30.4.
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo
34.1. Mostre que a solução geral para (22) é dada por
onde
é uma constante.
34.2. Faça e escolhendo
, mostre que a solução particular é dada por
34.2. Faça