y^prime+p(x) y=0
Mostre que
29.1. Se y=y1(x) é solução de (16), então
y=C y1(x)
onde C é uma constante, também é solução de (16)
29.2. Se y=y1(x) e y=y2(x) são soluções de (16), então
y=y1(x)+y2(x)
é também solução de (16)
29.3. Se y=y1(x) e y=u(x) y1(x) são soluções de
y^prime+P(x) y=a
onde a é uma constante, mostre que
u(x)=integral ay1(x) d x+k
com k também constante.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
y^prime + p(x) y = 0
O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver essas partes, vamos precisar entender como funcionam as soluções dessas equações e como combinar soluções conhecidas para encontrar novas soluções.

Passo 2

29.1. Se y1^prime + p(x) y1 = 0 é solução de (16), então ddx(C y1) + p(x) (C y1) = 0 também é solução.

Primeiro, vamos assumir que C y1^prime + C p(x) y1 = 0 é uma solução da equação diferencial, ou seja:
C (y1^prime + p(x) y1) = 0
Queremos mostrar que C cdot 0 = 0 , onde y1^prime + p(x) y1 = 0 e y2^prime + p(x) y2 = 0 é uma constante, também satisfaz a equação.
Vamos substituir y^prime = y1^prime + y2^prime na equação original:
(y1^prime + y2^prime) + p(x)(y1 + y2) = 0
Como (y1^prime + p(x)y1) + (y2^prime + p(x)y2) ) = 0 + 0 = 0 é constante, a derivada fica:
y1^prime + P(x) y1 = 0
Podemos fatorar y^prime + P(x) y = a :
y^prime = u^prime(x) y1(x) + u(x) y1^prime(x)
Sabemos que u^prime y1 + u y1^prime + P(x) u y1 = a , então:
u^prime y1 + u cdot 0 = a Rightarrow u^prime y1 = a
Portanto, u^prime = ay1(x) também é solução da equação diferencial.

29.2. Se u(x) = integral ay1(x) dx + k e u(x) = integral ay1(x) dx + k são soluções de (16), então também é solução.

Vamos assumir que ambas e são soluções da equação:
Queremos mostrar que também satisfaz a equação.
Calculando a derivada de :
Substituindo na equação original:
Reorganizando:
Isso confirma que também é solução da equação diferencial.

29.3. Se e são soluções de , onde é constante, mostre que com também constante.

Primeiro, sabemos que é solução da equação homogênea :
Agora, consideramos como solução da equação não homogênea:
Vamos calcular :
Substituindo na equação não homogênea:
Sabemos que , então substituímos:
Resolvendo para :
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Portanto, mostramos que:

Resposta

Mostramos que:
  1. é solução da equação dada.
  2. também é solução.
  3. com constante.

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