Mostre que
29.1. Se é solução de (16), então
onde é uma constante, também é solução de (16)
29.2. Se e são soluções de (16), então
é também solução de (16)
29.3. Se e são soluções de
onde é uma constante, mostre que
com também constante.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver essas partes, vamos precisar entender como funcionam as soluções dessas equações e como combinar soluções conhecidas para encontrar novas soluções.

Passo 2

29.1. Se é solução de (16), então também é solução.

Primeiro, vamos assumir que é uma solução da equação diferencial, ou seja:
Queremos mostrar que , onde é uma constante, também satisfaz a equação.
Vamos substituir na equação original:
Como é constante, a derivada fica:
Podemos fatorar :
Sabemos que , então:
Portanto, também é solução da equação diferencial.

29.2. Se e são soluções de (16), então também é solução.

Vamos assumir que ambas e são soluções da equação:
Queremos mostrar que também satisfaz a equação.
Calculando a derivada de :
Substituindo na equação original:
Reorganizando:
Isso confirma que também é solução da equação diferencial.

29.3. Se e são soluções de , onde é constante, mostre que com também constante.

Primeiro, sabemos que é solução da equação homogênea :
Agora, consideramos como solução da equação não homogênea:
Vamos calcular :
Substituindo na equação não homogênea:
Sabemos que , então substituímos:
Resolvendo para :
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Portanto, mostramos que:

Resposta

Mostramos que:
  1. é solução da equação dada.
  2. também é solução.
  3. com constante.

Exercícios relacionados

então:
24.1. A substituição na equação (8) implica
24.2. A substituição em (9) implica
24.3. Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem (10), e depois substitua para encontrar e mostre que é igual a
onde é a temperatura no prédio num instante é a temperatura externa, é a temperatura desejada para o prédio, é a taxa de aumento de decorrente do funcionamento de máquinas e da presença de pessoas no prédio, e e são constantes (negativas). Resolva essa EDO, supondo que constante, constante, e varie senoidalmente ao longo de 24h, digamos
30.1. Mostre que a equação (17) pode ser colocada na forma
Logo a equação (17) é homogênea.
30.2. Introduza uma nova variável dependente de modo que , ou . Expresse em função de e .
30.3. Substitua e na equação (18) pelas expressões no item 30.2 envolvendo e . Mostre que a equação diferencial se torna
30.4. Resolva a equação (19) obtendo implicitamente como função de .
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo por na solução encontrada no item 30.4.
34.1. Mostre que a solução geral para (22) é dada por
onde é uma constante.
34.2. Faça e escolhendo , mostre que a solução particular é dada por