y^prime(t)=A+B cos (112 pi t)-K y(t) ou y^prime+K y=A+B cos (112 pi t)
34.1. Mostre que a solução geral para (22) é dada por
y(t)=AK+B144 K^2+pi^2(144 cos pi t12+12 sen pi t12)+c e^-K t
onde c é uma constante.
34.2. Faça t=0 em y(t) e escolhendo y0=0, mostre que a solução particular é dada por
ypart(t)=AK+B144 K^2+pi^2(144 cos pi t12+12 sen pi t12)-(AK+144 K B144 K^2+pi^2) e^-K t

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo:
y^prime(t) + K y(t) = A + B cos(pi t12)
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos para encontrar a solução geral e particular dessa equação, utilizando fatores integrantes e a técnica de coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y^prime(t) + K y(t) = 0
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação é:
yh(t) = C e^-K t
onde é uma constante arbitrária.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
y^prime(t) + K y(t) = A + B cos(pi t12)
Para isso, assumimos que a solução particular tem a forma de uma combinação dos termos constantes e os termos da função forçada, que neste caso é yp(t) = AK + C cos(pi t12) + D sin(pi t12) . Portanto, propomos:

Passo 4

Substituindo yp^prime(t) = -C pi12 sin(pi t12) + D pi12 cos(pi t12) na equação diferencial, calculamos a derivada:
(-C pi12 sin(pi t12) + D pi12 cos(pi t12)) + K (AK + C cos(pi t12) + D sin(pi t12)) = A + B cos(pi t12)
Substituindo na equação original:

Passo 5

Simplificando a equação:
-C pi12 sin(pi t12) + D pi12 cos(pi t12) + A + K C cos(pi t12) + K D sin(pi t12) = A + B cos(pi t12)
Agrupando termos semelhantes:
(D pi12 + K C) cos(pi t12) + (-C pi12 + K D) sin(pi t12) + A = A + B cos(pi t12)

Passo 6

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para D pi12 + K C = B :
-C pi12 + K D = 0
Para :

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Primeira equação:
K C + pi12 D = B (1)
Segunda equação:
-K D + pi12 C = 0 (2)
Da equação (2), isolamos C = 12 Kpi D :
K (12 Kpi D) + pi12 D = B Rightarrow (12 K^2pi + pi12) D = B Rightarrow D = B12 K^2pi + pi12 = 12 B pi144 K^2 + pi^2
Substituindo na equação (1):
C = 12 Kpi cdot 12 B pi144 K^2 + pi^2 = 144 K B144 K^2 + pi^2
Então, substituindo em :

Passo 8

Agora, para encontrar a solução particular com a condição inicial y(0) = AK + B144 K^2 + pi^2(144 cos(0) + 12 sin(0)) + C e^0 = 0 e AK + 144 B144 K^2 + pi^2 + C = 0 Rightarrow C = -(AK + 144 B K144 K^2 + pi^2) , substituímos na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução particular, considerando ypart(t) = AK + B144 K^2 + pi^2(144 cos(pi t12) + 12 sin(pi t12)) - (AK + 144 K B144 K^2 + pi^2) e^-K t , é:

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