34.1. Mostre que a solução geral para (22) é dada por
onde é uma constante.
34.2. Faça e escolhendo , mostre que a solução particular é dada por

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos para encontrar a solução geral e particular dessa equação, utilizando fatores integrantes e a técnica de coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação é:
onde é uma constante arbitrária.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Para isso, assumimos que a solução particular tem a forma de uma combinação dos termos constantes e os termos da função forçada, que neste caso é . Portanto, propomos:

Passo 4

Substituindo na equação diferencial, calculamos a derivada:
Substituindo na equação original:

Passo 5

Simplificando a equação:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 6

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para :

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Da equação (2), isolamos :
Substituindo na equação (1):
Então, substituindo em :

Passo 8

Agora, para encontrar a solução particular com a condição inicial e , substituímos na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução particular, considerando , é:

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30.1. Mostre que a equação (17) pode ser colocada na forma
Logo a equação (17) é homogênea.
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30.3. Substitua e na equação (18) pelas expressões no item 30.2 envolvendo e . Mostre que a equação diferencial se torna
30.4. Resolva a equação (19) obtendo implicitamente como função de .
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo por na solução encontrada no item 30.4.
Mostre que
29.1. Se é solução de (16), então
onde é uma constante, também é solução de (16)
29.2. Se e são soluções de (16), então
é também solução de (16)
29.3. Se e são soluções de
onde é uma constante, mostre que
com também constante.
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Mostre que a solução para a equação de velocidade, quando , é da forma
e .