34.1. Mostre que a solução geral para (22) é dada por
onde
é uma constante.
34.2. Faça
e escolhendo
, mostre que a solução particular é dada por
34.2. Faça
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos para encontrar a solução geral e particular dessa equação, utilizando fatores integrantes e a técnica de coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação é:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Para isso, assumimos que a solução particular tem a forma de uma combinação dos termos constantes e os termos da função forçada, que neste caso é
. Portanto, propomos:
Passo 4
Substituindo
na equação diferencial, calculamos a derivada:
Substituindo na equação original:
Passo 5
Simplificando a equação:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para
Para
:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Primeira equação:
Primeira equação:
Segunda equação:
Da equação (2), isolamos
:
Substituindo na equação (1):
Então, substituindo
em
:
Passo 8
Agora, para encontrar a solução particular com a condição inicial
e
, substituímos
na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução particular, considerando
, é: