d yd x=P(x)+Q(x) y+R(x) y^2
então:
24.1. A substituição y=y1+u na equação (8) implica
d ud x-(Q+2 y1 R) u=R u^2
24.2. A substituição w=u^-1 em (9) implica
d wd t+(Q+2 y1 R) w=-R
24.3. Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem (10), e depois substitua u^-1=w para encontrar y=y1+u e mostre que é igual a
y=y1+e^integral(Q+2 y1 R) d xc-integral e^integral(Q+2 y1 R) d x R d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte 24.3 do exercício. Aqui, a gente precisa resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem e depois fazer umas substituições para chegar na expressão final de . Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação e, passo a passo, entender como chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que precisamos resolver:
d wd x + (Q + 2 y1 R) w = -R
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato padrão:
d wd x + P(x) w = Q(x)
onde e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral (Q + 2 y1 R) dx é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a tornar a equação diferencial exata, facilitando a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x) d wd x + mu(x) (Q + 2 y1 R) w = - mu(x) R :
dd x ( mu(x) w ) = - mu(x) R
A esquerda da equação agora se transforma na derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a integral dd x ( mu(x) w ) dx = - integral mu(x) R dx + C :
mu(x) w = - integral mu(x) R dx + C
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para w = C - integral mu(x) R dxmu(x) = C - integral e^integral (Q + 2 y1 R) dx R dxe^integral (Q + 2 y1 R) dx :

Passo 7

Lembrando que u = e^integral (Q + 2 y1 R) dxC - integral e^integral (Q + 2 y1 R) dx R dx , substituímos de volta para :

Passo 8

Finalmente, substituímos y = y1 + u = y1 + e^integral (Q + 2 y1 R) dxC - integral e^integral (Q + 2 y1 R) dx R dx de volta na expressão original para :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = y1 + e^integral (Q + 2 y1 R) dxc - integral e^integral (Q + 2 y1 R) dx R dx

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