então:
24.1. A substituição
na equação (8) implica
24.2. A substituição
em (9) implica
24.3. Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem (10), e depois substitua
para encontrar
e mostre que é igual a
24.1. A substituição
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte 24.3 do exercício. Aqui, a gente precisa resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem e depois fazer umas substituições para chegar na expressão final de
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação e, passo a passo, entender como chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que precisamos resolver:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato padrão:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a tornar a equação diferencial exata, facilitando a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora se transforma na derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta para
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
de volta na expressão original para
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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onde
é a temperatura no prédio num instante
é a temperatura externa,
é a temperatura desejada para o prédio,
é a taxa de aumento de
decorrente do funcionamento de máquinas e da presença de pessoas no prédio, e
e
são constantes (negativas). Resolva essa EDO, supondo que
constante,
constante, e
varie senoidalmente ao longo de 24h, digamos
onde
é a constante de proporcionalidade cujo valor depende da mercadoria em estudo. Resolva a equação diferencial expressando a oferta e a demanda como funções lineares simples em relação ao preço:
Mostre que
29.1. Se é solução de (16), então
29.1. Se
onde
é uma constante, também é solução de (16)
29.2. Se e
são soluções de (16), então
29.2. Se
é também solução de (16)
29.3. Se e
são soluções de
29.3. Se
onde
é uma constante, mostre que
com
também constante.
30.1. Mostre que a equação (17) pode ser colocada na forma
Logo a equação (17) é homogênea.
30.2. Introduza uma nova variável dependente de modo que
, ou
. Expresse
em função de
e
.
30.3. Substitua e
na equação (18) pelas expressões no item 30.2 envolvendo
e
. Mostre que a equação diferencial se torna
30.2. Introduza uma nova variável dependente
30.3. Substitua
30.4. Resolva a equação (19) obtendo
implicitamente como função de
.
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo por
na solução encontrada no item 30.4.
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo