então:
24.1. A substituição na equação (8) implica
24.2. A substituição em (9) implica
24.3. Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem (10), e depois substitua para encontrar e mostre que é igual a

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte 24.3 do exercício. Aqui, a gente precisa resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem e depois fazer umas substituições para chegar na expressão final de . Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação e, passo a passo, entender como chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que precisamos resolver:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato padrão:
onde e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a tornar a equação diferencial exata, facilitando a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora se transforma na derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta para :

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta na expressão original para :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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onde é a temperatura no prédio num instante é a temperatura externa, é a temperatura desejada para o prédio, é a taxa de aumento de decorrente do funcionamento de máquinas e da presença de pessoas no prédio, e e são constantes (negativas). Resolva essa EDO, supondo que constante, constante, e varie senoidalmente ao longo de 24h, digamos
onde é a constante de proporcionalidade cujo valor depende da mercadoria em estudo. Resolva a equação diferencial expressando a oferta e a demanda como funções lineares simples em relação ao preço:
Mostre que
29.1. Se é solução de (16), então
onde é uma constante, também é solução de (16)
29.2. Se e são soluções de (16), então
é também solução de (16)
29.3. Se e são soluções de
onde é uma constante, mostre que
com também constante.
30.1. Mostre que a equação (17) pode ser colocada na forma
Logo a equação (17) é homogênea.
30.2. Introduza uma nova variável dependente de modo que , ou . Expresse em função de e .
30.3. Substitua e na equação (18) pelas expressões no item 30.2 envolvendo e . Mostre que a equação diferencial se torna
30.4. Resolva a equação (19) obtendo implicitamente como função de .
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo por na solução encontrada no item 30.4.