então:
24.1. A substituição
na equação (8) implica
24.2. A substituição
em (9) implica
24.3. Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem (10), e depois substitua
para encontrar
e mostre que é igual a
24.1. A substituição
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte 24.3 do exercício. Aqui, a gente precisa resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem e depois fazer umas substituições para chegar na expressão final de
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação e, passo a passo, entender como chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que precisamos resolver:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato padrão:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a tornar a equação diferencial exata, facilitando a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora se transforma na derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta para
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
de volta na expressão original para
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução da equação diferencial é: