onde e é a população no instante , com a taxa de mortalidade e rearranjarmos as constantes, obtemos o modelo logístico
A equação (25) tem duas soluções de equilíbrio (constantes): e . Mostre que uma solução para (25) é da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma equação diferencial que modela o crescimento de uma população com uma taxa de mortalidade, conhecida como modelo logístico. A gente precisa mostrar que uma função específica realmente resolve essa equação logística. Para isso, vamos precisar entender o que é uma solução de equilíbrio e como resolver equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial. É uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. No caso, temos:
Aqui, e são constantes, e queremos encontrar a função que satisfaz essa equação com a condição inicial .
Passo 3
O próximo passo é identificar as soluções de equilíbrio. São valores de onde a taxa de variação é zero. Igualando a equação a zero:
Isso dá duas soluções de equilíbrio:
Essas soluções representam estados estáveis da população: extinção () ou população constante em .
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação diferencial. Ela é separável, ou seja, podemos separar as variáveis e . Vamos reorganizar a equação:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais: