d p / d t = k1 p, p(0) = p0
onde k1 > 0 e p0 é a população no instante t = 0, com a taxa de mortalidade e rearranjarmos as constantes, obtemos o modelo logístico
d p/d t = -A p(p - p1), p(0) = p0
A equação (25) tem duas soluções de equilíbrio (constantes): p(t) ≡ p1 e p(t) = 0. Mostre que uma solução para (25) é da forma
p(t) = p0 / (p0 + (1 - p0) e^(-A p1 t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma equação diferencial que modela o crescimento de uma população com uma taxa de mortalidade, conhecida como modelo logístico. A gente precisa mostrar que uma função específica realmente resolve essa equação logística. Para isso, vamos precisar entender o que é uma solução de equilíbrio e como resolver equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial. É uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. No caso, temos:
Aqui, e são constantes, e queremos encontrar a função que satisfaz essa equação com a condição inicial .

Passo 3

O próximo passo é identificar as soluções de equilíbrio. São valores de onde a taxa de variação é zero. Igualando a equação a zero:
Isso dá duas soluções de equilíbrio:
Essas soluções representam estados estáveis da população: extinção ( ) ou população constante em .

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação diferencial. Ela é separável, ou seja, podemos separar as variáveis e . Vamos reorganizar a equação:

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
Então, a integral fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolva para :
Multiplicando ambos os lados por :
Onde .
Aplicando a exponencial em ambos os lados:
Onde é uma constante.

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Aplicando a condição inicial :
Resolvendo para :

Passo 9

Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Resposta

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