onde e é a população no instante , com a taxa de mortalidade e rearranjarmos as constantes, obtemos o modelo logístico
A equação (25) tem duas soluções de equilíbrio (constantes): e . Mostre que uma solução para (25) é da forma

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma equação diferencial que modela o crescimento de uma população com uma taxa de mortalidade, conhecida como modelo logístico. A gente precisa mostrar que uma função específica realmente resolve essa equação logística. Para isso, vamos precisar entender o que é uma solução de equilíbrio e como resolver equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial. É uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. No caso, temos:
Aqui, e são constantes, e queremos encontrar a função que satisfaz essa equação com a condição inicial .

Passo 3

O próximo passo é identificar as soluções de equilíbrio. São valores de onde a taxa de variação é zero. Igualando a equação a zero:
Isso dá duas soluções de equilíbrio:
Essas soluções representam estados estáveis da população: extinção ( ) ou população constante em .

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação diferencial. Ela é separável, ou seja, podemos separar as variáveis e . Vamos reorganizar a equação:

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
Então, a integral fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolva para :
Multiplicando ambos os lados por :
Onde .
Aplicando a exponencial em ambos os lados:
Onde é uma constante.

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Aplicando a condição inicial :
Resolvendo para :

Passo 9

Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Resposta

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34.1. Mostre que a solução geral para (22) é dada por
onde é uma constante.
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30.1. Mostre que a equação (17) pode ser colocada na forma
Logo a equação (17) é homogênea.
30.2. Introduza uma nova variável dependente de modo que , ou . Expresse em função de e .
30.3. Substitua e na equação (18) pelas expressões no item 30.2 envolvendo e . Mostre que a equação diferencial se torna
30.4. Resolva a equação (19) obtendo implicitamente como função de .
30.5. Encontre a solução da equação (17) substituindo por na solução encontrada no item 30.4.
Figura 2: Foguete em ascensão e diagrama de corpo livre.
da lei de movimento de Newton, a equação se torna
Mostre que a solução para a equação de velocidade, quando , é da forma
e .
Esboce o campo vetorial desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9.