Encontre as funções e e seus domínios. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as composições de funções , , e , além dos seus domínios. As funções dadas são:
Vamos precisar entender o que é composição de funções e como encontrar o domínio de cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso significa que vamos aplicar a função primeiro e depois aplicar no resultado de . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular :
Então,
Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar o domínio de . O domínio de uma função composta é o conjunto de valores de para os quais está no domínio de .
Sabemos que está definida quando , ou seja, .
No caso de , temos . Como é sempre maior ou igual a zero para qualquer , será sempre maior ou igual a 1, que é positivo. Então, não há restrições para .
Portanto, o domínio de é todos os números reais:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Simplificando,

Passo 6

Para encontrar o domínio de , precisamos que esteja definido. Sabemos que exige que:
Então, o domínio de é:

Passo 7

Vamos calcular :

Passo 8

Para encontrar o domínio de , precisamos que:
  1. esteja definida:
  2. O resultado também deve estar dentro do domínio de :
Como sempre, a segunda condição é sempre verdadeira. Então, o domínio de é:

Passo 9

Por fim, vamos calcular :

Passo 10

Para encontrar o domínio de , precisamos que esteja definida. Como está definida para todos os números reais, a composição também está definida para todos os .
Então, o domínio de é:

Resposta

As composições e seus domínios são:
  • com domínio
  • com domínio
  • com domínio
  • com domínio

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Calcule as derivadas abaixo:
(h)
[30 pontos] Em cada item, faça o que se pede.
(a) pontos Determine a solução da EDO .
Esboce o gráfico de . .
Achar as derivadas parciais e da função dada: