Encontre as funções
e
e seus domínios.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as composições de funções
,
,
e
, além dos seus domínios. As funções dadas são:
Vamos precisar entender o que é composição de funções e como encontrar o domínio de cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso significa que vamos aplicar a função
primeiro e depois aplicar
no resultado de
. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular
:
Então,
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar o domínio de
. O domínio de uma função composta é o conjunto de valores de
para os quais
está no domínio de
.
Sabemos que
está definida quando
, ou seja,
.
No caso de
, temos
. Como
é sempre maior ou igual a zero para qualquer
,
será sempre maior ou igual a 1, que é positivo. Então, não há restrições para
.
Portanto, o domínio de
é todos os números reais:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Simplificando,
Passo 6
Para encontrar o domínio de
, precisamos que
esteja definido. Sabemos que
exige que:
Então, o domínio de
é:
Passo 7
Vamos calcular
:
Passo 8
Para encontrar o domínio de
, precisamos que:
-
esteja definida: - O resultado
também deve estar dentro do domínio de :
Como
sempre, a segunda condição é sempre verdadeira. Então, o domínio de
é:
Passo 9
Por fim, vamos calcular
:
Passo 10
Para encontrar o domínio de
, precisamos que
esteja definida. Como
está definida para todos os números reais, a composição
também está definida para todos os
.
Então, o domínio de
é:
Resposta
As composições e seus domínios são:
-
com domínio -
com domínio -
com domínio -
com domínio
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas abaixo:
(h)
(h)
[30 pontos] Em cada item, faça o que se pede.
(a) pontos
Determine a solução da EDO
.
(a)
Esboce o gráfico de
.
.
Achar as derivadas parciais
e
da função dada: