[30 pontos] Considere a EDO y'' - y = t^2. Em cada item, faça o que se pede.
(a) [7 pontos] Determine a solução geral da EDO homogênea associada.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral da EDO homogênea associada à equação dada . Então, primeiro vamos focar na parte homogênea dessa equação, que é . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação homogênea:
Nossa missão é encontrar todas as soluções possíveis para essa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos a chamada equação característica. Ela é obtida substituindo y por , onde r é uma constante que precisamos encontrar. Fazendo isso, temos:
Podemos dividir ambos os lados por (que nunca é zero), resultando na equação característica:

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
Então, temos duas raízes reais e distintas: e .

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde e são constantes que determinaremos com condições iniciais, se tiver.

Passo 6

Substituindo os valores das raízes que encontramos:
Essa é a solução geral da equação homogênea associada .

Resposta

A solução geral da EDO homogênea associada é:

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