[30 pontos] Considere a EDO
. Em cada item, faça o que se pede.
(a) [7 pontos] Determine a solução geral da EDO homogênea associada.
(a) [7 pontos] Determine a solução geral da EDO homogênea associada.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral da EDO homogênea associada à equação dada
. Então, primeiro vamos focar na parte homogênea dessa equação, que é
. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação homogênea:
Nossa missão é encontrar todas as soluções possíveis para essa equação.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos a chamada equação característica. Ela é obtida substituindo
por
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Fazendo isso, temos:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero), resultando na equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Então, temos duas raízes reais e distintas:
e
.
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde
e
são constantes que determinaremos com condições iniciais, se tiver.
Passo 6
Substituindo os valores das raízes que encontramos:
Essa é a solução geral da equação homogênea associada
.
Resposta
A solução geral da EDO homogênea associada é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir:
(i) , onde
.
(i)
[18 pontos] Assinale V ou F:
(III) [ ] é solução do PVI
e
.
(III) [ ]
Calcule os limites a seguir
(g) ;
(g)
Calcule os limites abaixo.
(b) .
(b)