Calcule os limites a seguir:
(i) , onde .

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede: precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 2. A função é definida por:
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com expressões que podem ser simplificadas para encontrar o valor do limite. Vamos precisar simplificar a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: . Isso é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar. A diferença de quadrados é uma forma algébrica que segue a fórmula:

Passo 3

Aplicando a fórmula da diferença de quadrados ao nosso caso:
Então, substituímos isso na função original:

Passo 4

Agora, observamos que temos o termo tanto no numerador quanto no denominador. Como , podemos cancelar esse termo:

Passo 5

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite quando se aproxima de 2 substituindo diretamente na expressão :

Resposta

O limite é 4.

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(III) [ ] é solução do PVI e .
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(IV) [ ]A curva é solução da edo .
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(a) [7 pontos] Determine a solução geral da EDO homogênea associada.
Calcule os limites a seguir
(g) ;