Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a curva
e o desafio é encontrar as equações da reta tangente e da reta normal a essa curva em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar:
- Derivar a função para encontrar a inclinação da reta tangente.
- Identificar o ponto em que queremos encontrar as retas.
- Usar a fórmula da reta para montar as equações da tangente e da normal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
para encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada nos dá a taxa de variação de
em relação a
, que é exatamente o que precisamos para a inclinação.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto específico. Suponha que o ponto dado seja
. Substituímos
na derivada para achar a inclinação da tangente nesse ponto.
Passo 4
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Então, calculamos:
Passo 5
Agora, vamos escrever as equações das retas usando a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
, onde
é o ponto dado.
- Reta Tangente:
- Reta Normal:
Resposta
As equações das retas tangente e normal à curva
no ponto
são:
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(g) , onde
;
(g)
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, com
, satisfaz, com
;
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