Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado. ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a curva e o desafio é encontrar as equações da reta tangente e da reta normal a essa curva em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Derivar a função para encontrar a inclinação da reta tangente.
  • Identificar o ponto em que queremos encontrar as retas.
  • Usar a fórmula da reta para montar as equações da tangente e da normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada nos dá a taxa de variação de em relação a , que é exatamente o que precisamos para a inclinação.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto específico. Suponha que o ponto dado seja . Substituímos na derivada para achar a inclinação da tangente nesse ponto.

Passo 4

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Então, calculamos:

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações das retas usando a fórmula da reta na forma ponto-inclinação: , onde é o ponto dado.
  • Reta Tangente:
  • Reta Normal:

Resposta

As equações das retas tangente e normal à curva no ponto são:

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