Calcule os limites a seguir:
(g) , onde ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: , onde a função é definida por:
Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente analisando o comportamento da função quando se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno e o polinômio interagem quando está perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando : . Sabemos que a função está sempre entre -1 e 1, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por (que é sempre positivo, já que é ao quadrado):
Isso nos mostra que está “preso” entre e .

Passo 4

Sabemos que . Então, os limites de e quando se aproxima de 0 também são 0:

Passo 5

Aqui entra o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Estremidades). Ele diz que se uma função está entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então a função do meio também terá esse limite.
No nosso caso:
E ambos os lados tendem a 0 quando , então:

Resposta

Portanto, o limite é 0.

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(g) .