Calcule os limites a seguir:
(g)
, onde
;
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
, onde a função
é definida por:
Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente analisando o comportamento da função quando
se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno e o polinômio
interagem quando
está perto de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando
:
. Sabemos que a função
está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por
(que é sempre positivo, já que é ao quadrado):
Isso nos mostra que
está “preso” entre
e
.
Passo 4
Sabemos que
. Então, os limites de
e
quando
se aproxima de 0 também são 0:
Passo 5
Aqui entra o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Estremidades). Ele diz que se uma função está entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então a função do meio também terá esse limite.
No nosso caso:
E ambos os lados tendem a 0 quando
, então:
Resposta
Portanto, o limite é 0.
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, com
, satisfaz, com
;
(I) [ ] A solução geral
Calcule os limites abaixo.
(g) .
(g)