Calcule os limites a seguir:
(g) lim x 0 f(x), onde f(x)=lx^2 sin 1x, x neq 0 0, x=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 f(x), onde a função f(x) é definida por:
f(x) = x^2 sin 1x, & x neq 0 0, & x=0
Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente analisando o comportamento da função quando x se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno e o polinômio x^2 interagem quando x está perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando x neq 0: x^2 sin 1x. Sabemos que a função sin theta está sempre entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin 1x <= 1

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por x^2 (que é sempre positivo, já que é ao quadrado):
- x^2 <= x^2 sin 1x <= x^2
Isso nos mostra que x^2 sin 1x está “preso” entre -x^2 e x^2.

Passo 4

Sabemos que limx to 0 x^2 = 0. Então, os limites de -x^2 e x^2 quando x se aproxima de 0 também são 0:
limx to 0 -x^2 = 0 e limx to 0 x^2 = 0

Passo 5

Aqui entra o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Estremidades). Ele diz que se uma função está entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então a função do meio também terá esse limite.
No nosso caso:
- x^2 <= x^2 sin 1x <= x^2
E ambos os lados tendem a 0 quando x to 0, então:
limx to 0 x^2 sin 1x = 0

Resposta

Portanto, o limite é 0.
lim x 0 f(x) = 0

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