[50 pontos] Assinale V ou F:
© [ ] A série sumn=0^infty (-1)^n 2^n+1n+1 é condicionalmente convergente.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “A série sumn=0^infty (-1)^n 2^n+1n+1 é condicionalmente convergente.” Para resolver isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e convergência condicional. Precisamos verificar se a série converge absolutamente ou apenas condicionalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=0^infty | (-1)^n 2^n+1n+1 | = sumn=0^infty 2^n+1n+1
Essa série é semelhante à série geométrica sumn=0^infty 2^n, que sabemos que diverge porque a razão é maior que 1. Portanto, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se limn to infty an = 0 e os termos an são decrescentes, então a série alternada converge.
Aqui, an = 2^n+1n+1. Calculando o limite:
limn to infty 2^n+1n+1 = infty
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada não é satisfeito, o que significa que a série não converge condicionalmente.

Resposta

F

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