Verifique quais das seguintes matrizes são diagonalizáveis e, caso seja possível, determine matrizes (não singular) e (diagonal) tais que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar duas matrizes: (que não pode ser singular) e (uma matriz diagonal) de forma que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais para diagonalizar matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante de :
Igualando a zero:
Então, o único autovalor é , com multiplicidade algébrica 3.
Passo 5
Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Vamos verificar quantos autovetores correspondem a .
Passo 6
Resolvemos para encontrar os autovetores.
Isso nos dá o sistema:
Passo 7
Da segunda equação, implica que . Substituindo na primeira equação:
é livre, então o autovetor geral é:
Isso significa que só temos um autovetor linearmente independente para .
Passo 8
Como a multiplicidade algébrica de é 3, mas a multiplicidade geométrica é apenas 1, a matriz não é diagonalizável. Para ser diagonalizável, precisaríamos de 3 autovetores linearmente independentes.
Resposta
A matriz não é diagonalizável porque não possui autovetores suficientes para formar a matriz .