Verifique quais das seguintes matrizes são diagonalizáveis e, caso seja possível, determine matrizes (não singular) e (diagonal) tais que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar duas matrizes: (que não pode ser singular) e (uma matriz diagonal) de forma que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais para diagonalizar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante de :
Igualando a zero:
Então, o único autovalor é , com multiplicidade algébrica 3.

Passo 5

Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Vamos verificar quantos autovetores correspondem a .

Passo 6

Resolvemos para encontrar os autovetores.
Isso nos dá o sistema:

Passo 7

Da segunda equação, implica que . Substituindo na primeira equação:
é livre, então o autovetor geral é:
Isso significa que só temos um autovetor linearmente independente para .

Passo 8

Como a multiplicidade algébrica de é 3, mas a multiplicidade geométrica é apenas 1, a matriz não é diagonalizável. Para ser diagonalizável, precisaríamos de 3 autovetores linearmente independentes.

Resposta

A matriz não é diagonalizável porque não possui autovetores suficientes para formar a matriz .

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Considere dada por .
(a) Mostre que é uma transformação linear.
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Seja e subespaço vetorial. Determine a dimensão de e encontre uma base de que contenha o vetor .
Dados e e vetores em e , mostre as seguintes propriedades:
Seja . Defina a transformação linear .
(b) Mostre que não é sobrejetora e encontre um vetor de que não está na imagem de .