Verifique quais das seguintes matrizes são diagonalizáveis e, caso seja possível, determine matrizes (não singular) e (diagonal) tais que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a matriz 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar duas matrizes: (que não pode ser singular) e (uma matriz diagonal) de forma que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais para diagonalizar matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
Então, o único autovalor é , com multiplicidade algébrica 3.
Passo 5
Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Vamos verificar quantos autovetores correspondem a .
Da segunda equação, v2 + 2(0) = 0 implies v2 = 0 implica que v = v1 0 0 = v1 1 0 0 . Substituindo na primeira equação:
é livre, então o autovetor geral é:
Isso significa que só temos um autovetor linearmente independente para .
Passo 8
Como a multiplicidade algébrica de é 3, mas a multiplicidade geométrica é apenas 1, a matriz não é diagonalizável. Para ser diagonalizável, precisaríamos de 3 autovetores linearmente independentes.
Resposta
A matriz 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 não é diagonalizável porque não possui autovetores suficientes para formar a matriz .