Verifique quais das seguintes matrizes são diagonalizáveis e, caso seja possível, determine matrizes P (não singular) e D (diagonal) tais que A=P D P^-1.
A=[lll0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a matriz 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar duas matrizes: (que não pode ser singular) e (uma matriz diagonal) de forma que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais para diagonalizar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando A - lambda I = 0 - lambda & 1 & 2 0 & 0 - lambda & 3 0 & 0 & 0 - lambda = -lambda & 1 & 2 0 & -lambda & 3 0 & 0 & -lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante de det(A - lambda I) = (-lambda) cdot (-lambda) cdot (-lambda) = -lambda^3 :
-lambda^3 = 0 implies lambda^3 = 0 implies lambda = 0
Igualando a zero:
Então, o único autovalor é , com multiplicidade algébrica 3.

Passo 5

Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Vamos verificar quantos autovetores correspondem a .

Passo 6

Resolvemos Av = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = v2 + 2v3 3v3 0 = 0 0 0 para encontrar os autovetores.
v2 + 2v3 = 0 3v3 = 0 0 = 0
Isso nos dá o sistema:

Passo 7

Da segunda equação, v2 + 2(0) = 0 implies v2 = 0 implica que v = v1 0 0 = v1 1 0 0 . Substituindo na primeira equação:
é livre, então o autovetor geral é:
Isso significa que só temos um autovetor linearmente independente para .

Passo 8

Como a multiplicidade algébrica de é 3, mas a multiplicidade geométrica é apenas 1, a matriz não é diagonalizável. Para ser diagonalizável, precisaríamos de 3 autovetores linearmente independentes.

Resposta

A matriz 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 não é diagonalizável porque não possui autovetores suficientes para formar a matriz .

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