1. Sejam A=(-3,2), B=(1,0) e C=(4,6). Prove que triang<= A B C é um triângulo retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no plano cartesiano: , e . A tarefa é provar que o triângulo formado por esses pontos, o , é um triângulo retângulo. Para isso, vamos usar a Geometria Analítica, especificamente a distância entre pontos e o Teorema de Pitágoras, que nos ajuda a verificar se um triângulo é retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre cada par de pontos. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e é:
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar as distâncias dos lados do triângulo , e .

Passo 3

Calculando a distância entre AB = raiz(1 - (-3))^2 + (0 - 2)^2 = raiz(4)^2 + (-2)^2 = raiz16 + 4 = raiz20 = 2raiz5 e :

Passo 4

Agora, calculando a distância entre BC = raiz(4 - 1)^2 + (6 - 0)^2 = raiz(3)^2 + (6)^2 = raiz9 + 36 = raiz45 = 3raiz5 e :

Passo 5

Por fim, calculando a distância entre AC = raiz(4 - (-3))^2 + (6 - 2)^2 = raiz(7)^2 + (4)^2 = raiz49 + 16 = raiz65 e :

Passo 6

Agora que temos as medidas dos três lados:
AB = 2raiz5, BC = 3raiz5, AC = raiz65
Vamos verificar se eles satisfazem o Teorema de Pitágoras, que diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado do lado maior é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.

Passo 7

Identificamos o maior lado, que é (3raiz5)^2 = 9 times 5 = 45 . Vamos verificar:
(2raiz5)^2 + (raiz65)^2 = 4 times 5 + 65 = 20 + 65 = 85
E a soma dos quadrados dos outros dois lados:
Vemos que . Parece que houve um erro na identificação do maior lado.
Na verdade, e . Então, o maior lado é .

Passo 8

Vamos refazer a verificação com AC^2 = 65 como a hipotenusa:
AB^2 + BC^2 = (2raiz5)^2 + (3raiz5)^2 = 20 + 45 = 65
Agora sim, , o que confirma, pelo Teorema de Pitágoras, que é um triângulo retângulo.

Resposta

Portanto, o triângulo é um triângulo retângulo porque as medidas dos lados satisfazem o Teorema de Pitágoras.

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