- Sejam
e
. Prove que
é um triângulo retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no plano cartesiano:
,
e
. A tarefa é provar que o triângulo formado por esses pontos, o
, é um triângulo retângulo. Para isso, vamos usar a Geometria Analítica, especificamente a distância entre pontos e o Teorema de Pitágoras, que nos ajuda a verificar se um triângulo é retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância entre cada par de pontos. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos
e
é:
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar as distâncias dos lados do triângulo
,
e
.
Passo 3
Calculando a distância entre
e
:
Passo 4
Agora, calculando a distância entre
e
:
Passo 5
Por fim, calculando a distância entre
e
:
Passo 6
Agora que temos as medidas dos três lados:
Vamos verificar se eles satisfazem o Teorema de Pitágoras, que diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado do lado maior é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.
Passo 7
Identificamos o maior lado, que é
. Vamos verificar:
E a soma dos quadrados dos outros dois lados:
Vemos que
. Parece que houve um erro na identificação do maior lado.
Na verdade,
e
. Então, o maior lado é
.
Passo 8
Vamos refazer a verificação com
como a hipotenusa:
Agora sim,
, o que confirma, pelo Teorema de Pitágoras, que
é um triângulo retângulo.
Resposta
Portanto, o triângulo
é um triângulo retângulo porque as medidas dos lados satisfazem o Teorema de Pitágoras.