Seja V=R^2=(x, y) mid x, y in R Podemos definir diversas operações +: R^2 times R^2 R^2 e. : R times R^2 R^2 em V. Nos exemplos abaixo diga por que as operações definidas em cada item não fazem de R^2 um espaço vetorial.
b) (x1, y1)+(x2, y2) & =(x1+x2, y1+y2) lambda(x, y) & =(lambda x, 0)

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos pede para analisar se, com as operações definidas, R^2 forma um espaço vetorial. Para isso, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com os axiomas que definem um espaço vetorial. Precisamos verificar se as operações de adição e multiplicação por escalar atendem a todas as regras necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos ver como a adição está definida:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
Essa é a adição padrão em R^2, então ela está correta e cumpre os axiomas de fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso aditivo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a multiplicação por escalar:
lambda(x, y) = (lambda x, 0)
Aqui, ao multiplicar qualquer vetor (x, y) por um escalar lambda, o resultado é (lambda x, 0). Isso significa que estamos forçando a segunda componente do vetor a ser sempre zero, independentemente do valor de y.

Passo 4

Para que R^2 seja um espaço vetorial, a multiplicação por escalar precisa satisfazer todos os axiomas, incluindo:
lambda cdot (x, y) + mu cdot (x, y) = (lambda + mu)(x, y)
No nosso caso:
lambda(x, y) + mu(x, y) = (lambda x, 0) + (mu x, 0) = (lambda x + mu x, 0 + 0) = ((lambda + mu)x, 0)
E:
(lambda + mu)(x, y) = ((lambda + mu)x, 0)
Parece que essa propriedade está satisfeita, mas vamos verificar outra.

Passo 5

Considere o vetor nulo (0, 0). Para todo vetor (x, y) em R^2, devemos ter:
1 cdot (x, y) = (x, y)
No nosso caso:
1(x, y) = (1 cdot x, 0) = (x, 0)
Mas isso só é igual a (x, y) se y = 0. Se y neq 0, então 1(x, y) neq (x, y), o que viola o axioma da identidade multiplicativa.

Resposta

Portanto, a operação de multiplicação por escalar definida por lambda(x, y) = (lambda x, 0) não preserva o vetor original para todos os lambda, violando os axiomas necessários. Assim, R^2 com essas operações não é um espaço vetorial.

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