Seja
Podemos definir diversas operações
e.
em
. Nos exemplos abaixo diga por que as operações definidas em cada item não fazem de
um espaço vetorial.
b)
b)
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos pede para analisar se, com as operações definidas,
forma um espaço vetorial. Para isso, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com os axiomas que definem um espaço vetorial. Precisamos verificar se as operações de adição e multiplicação por escalar atendem a todas as regras necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos ver como a adição está definida:
Essa é a adição padrão em
, então ela está correta e cumpre os axiomas de fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso aditivo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a multiplicação por escalar:
Aqui, ao multiplicar qualquer vetor
por um escalar
, o resultado é
. Isso significa que estamos forçando a segunda componente do vetor a ser sempre zero, independentemente do valor de
.
Passo 4
Para que
seja um espaço vetorial, a multiplicação por escalar precisa satisfazer todos os axiomas, incluindo:
No nosso caso:
E:
Parece que essa propriedade está satisfeita, mas vamos verificar outra.
Passo 5
Considere o vetor nulo
. Para todo vetor
em
, devemos ter:
No nosso caso:
Mas isso só é igual a
se
. Se
, então
, o que viola o axioma da identidade multiplicativa.
Resposta
Portanto, a operação de multiplicação por escalar definida por
não preserva o vetor original para todos os
, violando os axiomas necessários. Assim,
com essas operações não é um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
O que significa dizer que
é combinação linear de um conjunto de vetores?
Seja
com a relação de ordem
. Encontre todas as cotas inferiores e todas as cotas superiores do conjunto
. Determine, se existirem,
e
.
A escrita de
como combinação linear de um conjunto de vetores é única? Como se verifica isso?
- Sejam
e . Prove que é um triângulo retângulo.