1. Sejam e . Prove que é um triângulo retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três pontos no espaço: , e . A gente precisa provar que o triângulo formado por esses pontos, chamado de , é um triângulo retângulo. Para fazer isso, vamos usar Geometria Analítica, mais especificamente o conceito de vetores e produto escalar para verificar se algum dos ângulos é de 90 graus.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Um vetor entre dois pontos é dado pela diferença das coordenadas dos pontos.
  • Vetor :
  • Vetor :
  • Vetor :

Passo 3

Agora, vamos verificar se algum par desses vetores é perpendicular, ou seja, se o produto escalar entre eles é igual a zero. Se sim, então o ângulo entre esses vetores é de 90 graus, o que prova que o triângulo é retângulo.
O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Vamos calcular os produtos escalares:
  1. :
  2. :
  3. :

Passo 4

Analisando os resultados dos produtos escalares:
Somente o produto escalar entre e é igual a zero. Isso significa que os vetores e são perpendiculares, ou seja, o ângulo no ponto é de 90 graus.

Resposta

O triângulo é um triângulo retângulo porque os vetores e são perpendiculares, formando um ângulo de 90 graus no ponto .

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b) .