1. Sejam A=(1,1,-1), B=(-3,2,-2) e C=(2,2,-4). Prove que triang<= A B C é um triângulo retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três pontos no espaço: , e . A gente precisa provar que o triângulo formado por esses pontos, chamado de , é um triângulo retângulo. Para fazer isso, vamos usar Geometria Analítica, mais especificamente o conceito de vetores e produto escalar para verificar se algum dos ângulos é de 90 graus.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Um vetor entre dois pontos é dado pela diferença das coordenadas dos pontos.
  • Vetor AB = B - A = (-3 - 1,, 2 - 1,, -2 - (-1)) = (-4,, 1,, -1) :
    AC = C - A = (2 - 1,, 2 - 1,, -4 - (-1)) = (1,, 1,, -3)
  • Vetor BC = C - B = (2 - (-3),, 2 - 2,, -4 - (-2)) = (5,, 0,, -2) :
  • Vetor :

Passo 3

Agora, vamos verificar se algum par desses vetores é perpendicular, ou seja, se o produto escalar entre eles é igual a zero. Se sim, então o ângulo entre esses vetores é de 90 graus, o que prova que o triângulo é retângulo.
O produto escalar entre dois vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e (-4)(1) + (1)(1) + (-1)(-3) = -4 + 1 + 3 = 0 é dado por:
(-4)(5) + (1)(0) + (-1)(-2) = -20 + 0 + 2 = -18
Vamos calcular os produtos escalares:
  1. (1)(5) + (1)(0) + (-3)(-2) = 5 + 0 + 6 = 11 :
  2. :
  3. :

Passo 4

Analisando os resultados dos produtos escalares:
Somente o produto escalar entre e é igual a zero. Isso significa que os vetores e são perpendiculares, ou seja, o ângulo no ponto é de 90 graus.

Resposta

O triângulo é um triângulo retângulo porque os vetores e são perpendiculares, formando um ângulo de 90 graus no ponto .

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