- Sejam
e
. Prove que
é um triângulo retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três pontos no espaço:
,
e
. A gente precisa provar que o triângulo formado por esses pontos, chamado de
, é um triângulo retângulo. Para fazer isso, vamos usar Geometria Analítica, mais especificamente o conceito de vetores e produto escalar para verificar se algum dos ângulos é de 90 graus.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Um vetor entre dois pontos é dado pela diferença das coordenadas dos pontos.
-
Vetor
: -
Vetor
: -
Vetor
:
Passo 3
Agora, vamos verificar se algum par desses vetores é perpendicular, ou seja, se o produto escalar entre eles é igual a zero. Se sim, então o ângulo entre esses vetores é de 90 graus, o que prova que o triângulo é retângulo.
O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Vamos calcular os produtos escalares:
-
: -
: -
:
Passo 4
Analisando os resultados dos produtos escalares:
Somente o produto escalar entre
e
é igual a zero. Isso significa que os vetores
e
são perpendiculares, ou seja, o ângulo no ponto
é de 90 graus.
Resposta
O triângulo
é um triângulo retângulo porque os vetores
e
são perpendiculares, formando um ângulo de 90 graus no ponto
.
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Qual o número máximo de vetores LI em um plano?
- Sejam
e . Prove que é um triângulo retângulo.
Dados três vetores no
, explique duas formas de verificar se eles são LI ou LD.
Em cada um dos casos verifique se o conjunto
contido no espaço vetorial
é um subespaço do espaço vetorial
. Lembramos aqui que
são os polinômios em
são as funções deriváveis e com derivadas contínuas de
em
.
b) .
b)