A escrita de w como combinação linear de um conjunto de vetores é única? Como se verifica isso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se a escrita de um vetor w como combinação linear de um conjunto de vetores é única. Isso envolve o conteúdo de combinação linear e independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que é combinação linear e como verificar se essa representação é única usando a independência linear dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Dado um conjunto de vetores v1, v2, dots, vn, uma combinação linear desses vetores para formar w é uma expressão como:
w = c1v1 + c2v2 + dots + cnvn
onde c1, c2, dots, cn são os escalres (ou coeficientes) que estamos procurando.

Passo 3

Agora, queremos saber se essa combinação linear é única, ou seja, se existe apenas uma forma de escolher esses coeficientes c1, c2, dots, cn para obter w. Para isso, precisamos verificar a independência linear dos vetores v1, v2, dots, vn.

Passo 4

Independência linear significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se os vetores forem linearmente independentes, então a combinação linear que resulta em w será única. Por outro lado, se os vetores forem linearmente dependentes, pode haver múltiplas combinações que resultam no mesmo w.

Passo 5

Para verificar a independência linear, montamos um sistema de equações igualando a combinação linear a zero:
c1v1 + c2v2 + dots + cnvn = 0
Se a única solução para esse sistema for c1 = c2 = dots = cn = 0, então os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Aplicando isso à combinação com w, se os vetores forem linearmente independentes, qualquer solução para w = c1v1 + c2v2 + dots + cnvn será única, porque não há outra combinação não trivial que satisfaça a equação.

Resposta

Sim, a escrita de w como combinação linear de um conjunto de vetores é única se e somente se esses vetores forem linearmente independentes. Para verificar isso, deve-se confirmar que a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero, garantindo assim a unicidade da representação.

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