A escrita de
como combinação linear de um conjunto de vetores é única? Como se verifica isso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se a escrita de um vetor
como combinação linear de um conjunto de vetores é única. Isso envolve o conteúdo de combinação linear e independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que é combinação linear e como verificar se essa representação é única usando a independência linear dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Dado um conjunto de vetores
, uma combinação linear desses vetores para formar
é uma expressão como:
onde
são os escalres (ou coeficientes) que estamos procurando.
Passo 3
Agora, queremos saber se essa combinação linear é única, ou seja, se existe apenas uma forma de escolher esses coeficientes
para obter
. Para isso, precisamos verificar a independência linear dos vetores
.
Passo 4
Independência linear significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se os vetores forem linearmente independentes, então a combinação linear que resulta em
será única. Por outro lado, se os vetores forem linearmente dependentes, pode haver múltiplas combinações que resultam no mesmo
.
Passo 5
Para verificar a independência linear, montamos um sistema de equações igualando a combinação linear a zero:
Se a única solução para esse sistema for
, então os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Aplicando isso à combinação com
, se os vetores forem linearmente independentes, qualquer solução para
será única, porque não há outra combinação não trivial que satisfaça a equação.
Resposta
Sim, a escrita de
como combinação linear de um conjunto de vetores é única se e somente se esses vetores forem linearmente independentes. Para verificar isso, deve-se confirmar que a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero, garantindo assim a unicidade da representação.
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Seja
Podemos definir diversas operações
e.
em
. Nos exemplos abaixo diga por que as operações definidas em cada item não fazem de
um espaço vetorial.
b)
b)
O que significa dizer que
é combinação linear de um conjunto de vetores?
- Sejam
e . Prove que é um triângulo retângulo.
Qual o número máximo de vetores LI em um plano?