1. y' + (1/t) y = cos(2t), t > 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
Essa equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar usar um método chamado fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ), que é dado por:
Substituindo :
Como , podemos simplificar:

Passo 4

Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação original por :
Isso simplifica para:

Passo 5

A esquerda da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso facilita porque agora temos uma equação mais simples para integrar.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente .

Passo 7

Agora, resolvemos a integral do lado direito. Para isso, usamos integração por partes, onde:
  • =>
  • =>
Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 8

Voltando à equação integrada:
Agora, isolamos dividindo tudo por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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