Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
Essa equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar usar um método chamado fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante (
), que é dado por:
Substituindo
:
Como
, podemos simplificar:
Passo 4
Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação original por
:
Isso simplifica para:
Passo 5
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita porque agora temos uma equação mais simples para integrar.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
.
Passo 7
Agora, resolvemos a integral do lado direito. Para isso, usamos integração por partes, onde:
-
=> -
=>
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 8
Voltando à equação integrada:
Agora, isolamos
dividindo tudo por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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