Determine o jacobiano da transformação. x = u - 2v, y = 2u - v

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação que relaciona as variáveis e com e pelas equações:
O que a gente precisa encontrar aqui é o jacobiano dessa transformação. O jacobiano é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a entender como uma mudança de variáveis afeta áreas, volumes e outras medidas. Para calcular o jacobiano, vamos precisar das derivadas parciais de e em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais das equações:
Essas derivadas nos dizem como cada variável e muda quando a gente varia ou individualmente.

Passo 3

Agora, a gente monta a matriz jacobiana usando essas derivadas:
Essa matriz é essencialmente uma forma organizada de ver todas as derivadas parciais juntas.

Passo 4

Por fim, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o jacobiano:
O determinante nos dá uma ideia de como a transformação escala áreas ou volumes.

Resposta

O jacobiano da transformação é 3.

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