Determine o jacobiano da transformação. x = u - 2v, y = 2u - v

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação que relaciona as variáveis e com e pelas equações:
O que a gente precisa encontrar aqui é o jacobiano dessa transformação. O jacobiano é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a entender como uma mudança de variáveis afeta áreas, volumes e outras medidas. Para calcular o jacobiano, vamos precisar das derivadas parciais de e em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais das equações:
Essas derivadas nos dizem como cada variável e muda quando a gente varia ou individualmente.

Passo 3

Agora, a gente monta a matriz jacobiana usando essas derivadas:
Essa matriz é essencialmente uma forma organizada de ver todas as derivadas parciais juntas.

Passo 4

Por fim, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o jacobiano:
O determinante nos dá uma ideia de como a transformação escala áreas ou volumes.

Resposta

O jacobiano da transformação é 3.

Exercícios relacionados

Calcule a derivada da função f(x) = sen^2(x).
(a) f'(x) = -2 sen(x) cos(x)
(b) f' (x) = -sen x cos x
© f'(x) = cos²(x);
(d) f'(x) = sen(x) cos(x);
(e) f'(x) = 2 sen(x) cos(x).
Calcule a soma sumk=1^N 3 k.
(a) 23 N(N+1);
(b) 2 N(N+1);
© 32 N(N-1);
(d) 3 N(N+1);
(e) 32 N(N+1).
Determine o jacobiano da transformação. x = u - v^2, y = u + v^2
  1. y' + (1/t) y = cos(2t), t > 0