Determine o jacobiano da transformação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação que relaciona as variáveis
e
com
e
pelas equações:
O que a gente precisa encontrar aqui é o jacobiano dessa transformação. O jacobiano é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a entender como uma mudança de variáveis afeta áreas, volumes e outras medidas. Para calcular o jacobiano, vamos precisar das derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais das equações:
Essas derivadas nos dizem como cada variável
e
muda quando a gente varia
ou
individualmente.
Passo 3
Agora, a gente monta a matriz jacobiana usando essas derivadas:
Essa matriz é essencialmente uma forma organizada de ver todas as derivadas parciais juntas.
Passo 4
Por fim, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o jacobiano:
O determinante nos dá uma ideia de como a transformação escala áreas ou volumes.
Resposta
O jacobiano da transformação é 3.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função
.
(a)
(b)
© ;
(d) ;
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule a soma
.
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Determine o jacobiano da transformação.